Wir schauen uns das Ausmultiplizieren und das Ausklammern anhand von eineigen Beispielen genauer an.
Ausmultiplizieren
Wir multiplizieren die Zahl, die außerhalb der Klammer steht, die $3$ mit $a$ und $2b$ aus der Klammer und schreiben ein $+$ dazwischen.
Weitere Beispiele:
$$\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}2} \cdot(x+4)={\color{abc}2}\cdot x+{\color{abc}2}\cdot 4=2x+8$$
\begin {array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}5} \cdot(a+b+c)\\[1ex]={\color{abc}5}\cdot a+{\color{abc}5}\cdot b+{\color{abc}5}\cdot c=5a+5b+5c\end{array}
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}3}\cdot(a-3)={\color{abc}3}\cdot a+{\color{abc}3}\cdot (-3)\\[1ex]=3a-9\end {array}
\begin{array}{l}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}-2}\cdot(x-4)=({\color{abc}-2})\cdot x+({\color{abc}-2})\cdot (-4)\\[1ex]=-2x+8\end{array}
Minus vor der Klammer
Schwieriger ist es, wenn nur ein Minus vor der Klammer steht.
$$-(2a +3)$$
Eigentlich steht da noch eine $1$ dabei. Also $-1\cdot(2a +3)$. In der Mathematik lässt man die $1$ oft einfach weg. Als Regel kannst du dir merken, wenn ein Minus vor einer Klammer steht, einfach alle Vorzeichen umdrehen.
$$\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}-}(2a +3)={\color{abc}-1}\cdot(2a +3)={\color{abc}-}2a{\color{abc}-}3$$
Weitere Beispiele:
$$\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}-}(3-y)=\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}-1}\cdot(3-y)=-3+y$$
\begin {array}{l}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x^2{\color{abc}-}(2x+4)=x^2{\color{abc}-1}\cdot(2x+4)\\[1ex]=x^2-2x-4\end{array}
\begin{array}{l} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}-} (a-b+4)={\color{abc}-1}\cdot(a-b+4)\\[1ex]=-a+b-4\end{array}
Häufige Fehler
Wenn in der Klammer ein Produkt steht, können wir die Klammer auch einfach weglassen.
$$2\cdot (x\cdot 3)=2 \cdot x \cdot 3=6x$$
Falsch wäre sowas:
$$2\cdot (x+3)= {\color{red}2 \cdot x} + 3$$
In dem Fall wurde nicht richtig ausmultipliziert. Die $3$ wurde einfach stehen gelassen. Wichtig ist, immer alles in der Klammer mit der Zahl, die davor steht, zu multiplizieren.
Klammern ausmultiplizieren
Schauen wir uns mal an, wie wir zwei Klammern miteinander multiplizieren:
Wir fassen noch mehr zusammen:
\begin{array}{l}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{red}x}\cdot x + {\color{red}x}\cdot 3+{\color{abc}2}\cdot x+{\color{abc}2}\cdot 3 \\[1ex]= x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6\end{array}
Weitere Beispiele:
\begin{array}{l}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} ({\color{red}x}-{\color{abc}4}) \cdot (-x + 2) \\[1ex]= {\color{red}x}\cdot (-x) + {\color{red}x}\cdot 2+({\color{abc}-4})\cdot (-x)+({\color{abc}-4})\cdot 2 \\[1ex]= -x^2+2x+4x-8=-x^2+6x-8\end{array}
\begin{array}{l}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} ({\color{red}3}+{\color{abc}a}) \cdot (a-2b) \\[1ex]= {\color{red}3}\cdot a+ {\color{red}3}\cdot (-2b)+{\color{abc}a}\cdot a+{\color{abc}a}\cdot (-2b)\\[1ex]=3a-6b+a^2-2ab \end{array}
Ausklammern
Ausklammern muss man oft, wenn eine Rechnung in Mathe vereinfacht werden soll. Wir schauen uns das mal an einem Beispiel an:
$$\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}3} +{\color{abc}3} x={\color{abc}3} \cdot(1+x)$$
Die $3$ ist in beiden Teilen der Summe enthalten. Deswegen kann man sie vor die Klammer schreiben.
Beim Ausklammern schaut man, welche Zahl bzw. Variable in einem Term drinnen steckt. Hat man den Faktor gefunden, “klammert” man ihn aus.
Weitere Beispiele:
$$\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x^2+x={\color{abc}x}\cdot x+{\color{abc}x}={\color{abc}x}\cdot(x+1)$$
$$\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc}3} a-{\color{abc}3} ={\color{abc}3} \cdot(a-1)$$
\begin {array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}xy+xy^2= {\color{abc}x}\cdot {\color{red}y}+{\color{abc}x}\cdot {\color{red}y}\cdot y\\[1ex]={\color{abc}x}{\color{red}y}\cdot(1+y)\end{array}
