Es gibt drei Binomische Formeln. Sie sind nur ein spezieller Fall vom Ausmultiplizieren. Beherrscht du das Ausmultiplizieren und Ausklammern, solltest du mit den Binomischen Formeln keine Probleme haben.
- Erste Binomische Formel
$(a+b)^2$ - Zweite Binomische Formel
$(a-b)^2$ - Dritte Binomische Formel
$(a+b)(a-b)$ - Wofür brauche ich das?
Erste Binomische Formel
Die erste Binomische Formel lautet $(a+b)^2$ . Durch Ausmultiplizieren erhält man folgende Form:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}(a+b)^2=({\color{red}a}+{\color{abc}b})\cdot(a+b)\\[1ex]=\underbrace{{\color{red}a}\cdot a}_{a^2}+\underbrace{{\color{red}a}\cdot b}_{ab}+\underbrace{{\color{abc}b}\cdot a}_{ab}+\underbrace{{\color{abc}b}\cdot b}_{b^2}\\[1ex] =a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\end{array}
Weitere Beispiele:
Dafür braucht man eigentlich keine Binomische Formel. Das Beispiel dient nur dazu, um zu zeigen, dass die Formel auch stimmt.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}(1+2)^2=({\color{red}1}+{\color{abc}2})\cdot(1+2)\\[1ex]=\underbrace{{\color{red}1}\cdot 1}_{a^2}+\underbrace{{\color{red}1}\cdot 2}_{ab}+\underbrace{{\color{abc}2}\cdot 1}_{ab}+\underbrace{{\color{abc}2}\cdot 2}_{b^2}\\[1ex] =1^2+2+2+2^2=1+4+4=9\end{array}
Bei beiden Rechenwegen bekommen wir das Gleiche heraus. Die erste Binomische Formel stimmt somit.
$$(1+2)^2=3^2=9$$
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}(x+2)^2=({\color{red}x}+{\color{abc}2})\cdot(x+2)\\[1ex]=\underbrace{{\color{red}x}\cdot x}_{a^2}+\underbrace{{\color{red}x}\cdot 2}_{ab}+\underbrace{{\color{abc}2}\cdot x}_{ab}+\underbrace{{\color{abc}2}\cdot 2}_{b^2}\\[1ex] =x^2+2x+2+2^2=x^2+4x+4\end{array}
Zweite Binomische Formel
Die zweite Binomische Formel lautet $(a-b)^2$. Durch Ausmultiplizieren erhält man folgende Form:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}(a-b)^2=({\color{red}a}-{\color{abc}b})\cdot(a-b)\\[1ex]=\underbrace{{\color{red}a}\cdot a}_{a^2}+\underbrace{{\color{red}a}\cdot (-b)}_{-ab}+\underbrace{({\color{abc}-b})\cdot a}_{-ab}+\underbrace{({\color{abc}-b})\cdot (-b)}_{b^2}\\[1ex] =a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2\end{array}
Ganz wichtig ist das negative Vorzeichen bei $\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}-b}$. Das Vorzeichen steht immer davor, daher auch der Name. Wollen wir damit rechnen, müssen wir das Vorzeichen immer mitnehmen!
Bei der zweiten Binomischen Formel ist der mittlere Teil somit negativ.
Weitere Beispiele:
Auch hier ein Beispiel nur mit Zahlen.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}(5-1)^2=({\color{red}5}-{\color{abc}1})\cdot(5-1)\\[1ex]=\underbrace{{\color{red}5}\cdot 5}_{a^2}+\underbrace{{\color{red}5}\cdot (-1)}_{-ab}\\[1ex]+\underbrace{({\color{abc}-1})\cdot 5}_{-ab}+\underbrace{({\color{abc}-1})\cdot (-1)}_{b^2}\\[1ex] =5^2-5-5+(-1)^2\\[1ex]=25-10+1=16\end{array}
Es kommt bei beiden Rechenwegen das Gleiche heraus. Also stimmt auch die zweite Binomische Formel.
$$(5-1)^2=4^2=16$$
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}(3-x)^2=({\color{red}3}-{\color{abc}x})\cdot(3-x)\\[1ex]=\underbrace{{\color{red}3}\cdot 3}_{a^2}+\underbrace{{\color{red}3}\cdot (-x)}_{-ab}\\[1ex]+\underbrace{({\color{abc}-x})\cdot 3}_{-ab}+\underbrace{({\color{abc}-x})\cdot (-x)}_{b^2}\\[1ex] =3^2-3x-3x+x^2\\[1ex]=9-6x+x^2\end{array}
Dritte Binomische Formel
Die dritte Binomische Formel lautet $(a+b)(a-b)$. Durch Ausmultiplizieren erhält man folgende Form:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}({\color{red}a}+{\color{abc}b})\cdot(a-b)\\[1ex]=\underbrace{{\color{red}a}\cdot a}_{a^2}+\underbrace{{\color{red}a}\cdot (-b)}_{-ab}+\underbrace{{\color{abc}b}\cdot a}_{ab}+\underbrace{{\color{abc}b}\cdot(-b)}_{b^2}\\[1ex] =a^2-ab+ab+b^2=a^2+b^2\end{array}
Im Vergleich zu den anderen beiden Binomischen Formeln, fällt bei der dritten Binomischen Formeln der mittlere Teil ganz weg. Wir bekommen nur ein $a^2$ und ein $b^2$ durch ein $-$ getrennt heraus.
Weitere Beispiele:
Auch hier ein Beispiel nur mit Zahlen.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}({\color{red}3}+{\color{abc}2})\cdot(3-2)\\[1ex]=\underbrace{{\color{red}3}\cdot 3}_{a^2}+\underbrace{{\color{red}3}\cdot (-2)}_{-ab}+\underbrace{{\color{abc}2}\cdot 3}_{ab}+\underbrace{{\color{abc}2}\cdot(-2)}_{b^2}\\[1ex] =3^2-6+6-2^2=9-4=5\end{array}
Es kommt bei beiden Rechenwegen das Gleiche heraus. Also stimmt auch die dritte Binomische Formel.
$$(3+2)\cdot (3-2)=(5)\cdot(1)=5$$
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}({\color{red}x}+{\color{abc}2})\cdot(x-2)\\[1ex]=\underbrace{{\color{red}x}\cdot x}_{a^2}+\underbrace{{\color{red}x}\cdot (-2)}_{-ab}+\underbrace{{\color{abc}2}\cdot x}_{ab}+\underbrace{{\color{abc}2}\cdot(-2)}_{b^2}\\[1ex] =x^2-2x+2x-2^2=x^2-4\end{array}
Wofür brauche ich das?
Mal vorab. Die Binomische Formel auszumultiplizieren, bsp.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, ist der leichtere Teil. Schwieriger wird es wenn du den rechten Teil gegeben hast, $a^2+2ab+b^2$, und dann auf eine Binomische Formel schließen sollst. Warum? Das schauen wir uns jetzt mal an.
Scheitelpunktform berechnen
Wir haben die Funktion $f(x)=x^2-2x-3$ und sollen die Scheitelpunktform berechnen. Das ganze schaut dann so aus:
$$x^2-2x-3\Rightarrow (x-1)^2-4$$
Dafür gibt es einen extra Artikel: Scheitelpunktform
Nullstellen berechnen
Die pq-Formel kennst du ja:
$$x_{1,2}=\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left (\dfrac{p}{2}\right )^2-p}$$
Damit könne wir Lösungen einer Gleichung ausrechnen. Mit den Binomischen Formel geht da auch und sogar viel schneller.
Wir können jetzt einsetzen in die pq-Formel oder einfach die Binomische Formel anwenden. Dafür müssen wir aber genau hinschauen.
$$f(x)=\underbrace{x^2}_{a^2}+\underbrace{2x}_{2ab}+\underbrace{1}_{b^2}$$
Das $x^2$ ist unser $a^2$. Das $2x$ ist unser $2ab$. Und die $1$ kann man auch als $1^2$ schreiben, somit ist das unser $b^2$. Die Binomische Formel lautet also:
$$f(x)=(x+1)^2$$
Noch ein paar schwerere Beispiele:
Selten steht die Binomischen Formel einfach so da wie in unserem Beispiel. In den meisten Fällen muss man dafür ein bisschen nachhelfen:
$$x^2+2x-6$$
Sieht fast so aus wie in unsere Beispiel von vorhin. Wir formen mal um:
$$\underbrace{x^2}_{a^2}+\underbrace{2x}_{2ab}+\underbrace{1}_{b^2}-7$$
$-6=1-7$ stimmt doch. Das könne wir immer machen und jetzt steht das gleiche wie vorhin da. Wir wenden die Binomische Formel an.
$$x^2+2x+1-7= (x+1)^2-7$$
Wir formen um:
\begin{array}{rcll} (x+1)^2-7 &=&0&{\color{Gray} |+7} \\[1ex] (x+1)^2 &=&7&{\color{Gray} |\sqrt{\;}}\\[1ex]x+1&=&\pm\sqrt{7}&{\color{Gray} |-1} \\[1ex] x&=&\pm\sqrt{7}-1\end{array}·
Wir erhalten zwei Lösungen.
\begin{array}{rcr} x_1&=&\sqrt{7}-1 \\[1ex] x_2 &=&-\sqrt{7}-1 \end{array}·
