Bruchrechnung

Algebra

Im Folgenden gehen wir die wichtigsten Themen rund ums Bruchrechnen durch:

Grundlagen

Das über dem Bruchstrich nennt man Zähler, das unter dem Bruchstrich nennt man Nenner.

Ein häufiges Problem sind Vorzeichen bei Brüchen:

\begin{align} \dfrac{{\color{red}-}3}{4}&={\color{red}-}\dfrac{3}{4}\\[1ex]\dfrac{3}{{\color{red}-}4}&={\color{red}-}\dfrac{3}{4}\\[1ex]\dfrac{{\color{red}-}3}{{\color{red}-}4}&=\dfrac{3}{4}\end{align}

Ist beispielsweise der Zähler negativ, können wir das Vorzeichen einfach vor den Bruch schreiben. Das Gleiche gilt für den Nenner.

Brüche erweitern

Wollen wir einen Bruch erweitern, multiplizieren wir den Zähler, also das über dem Bruchstrich, und Nenner, das unter dem Bruchstrich, mit der gleichen Zahl.

\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{4}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}2}}{4\cdot {\color{abc}2}}=\dfrac{2}{8}\end{array}

Weitere Beispiele:

Sonderfall: Zahl zu Bruch

Wir können aus Zahlen auch einfach Brüche machen. Und sie dann einfach erweitern.

$$1=1\cdot 1=1\cdot \dfrac{1}{1}=\dfrac{2}{2}=\dfrac{x}{x}$$

Das ganze jetzt nochmal mit der Zahl $3$.

$$3=3\cdot 1=3\cdot \dfrac{1}{1}=3\cdot \dfrac{2}{2}=3 \cdot \dfrac{x}{x}$$

Wichtig ist das, wenn man Zahlen mit Brüchen addieren/subtrahieren soll.

Brüche kürzen

Ganz wichtig beim Kürzen von Brüchen ist das Faktorisieren. Also sprich wir können unsere $8$ auch als $4\cdot 2$ schreiben.

\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{2}{8}=\dfrac{1\cdot \cancel{{\color{abc}2}}}{4\cdot \cancel{{\color{abc}2}}}=\dfrac{1}{4}\end{array}

Die $2$ steht jetzt im Zähler, Oben, und im Nenner, Unten. Somit können wir sie kürzen.

Weitere Beispiele:

Schwieriger wird es, wenn eine Summe im Bruch steht. Bevor wir kürzen können, müssen wir zuerst ausklammern.

\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{4+6x}{4}=\dfrac{\cancel{{\color{abc}2}}\cdot (2+3x)}{\cancel{{\color{abc}2}}\cdot 2}=\dfrac{2+3x}{2}\end{array}

Weitere Beispiele:

Brüche addieren

Wollen wir Brüche miteinander addieren, muss der Nenner, also der untere Teil, bei beiden Brüchen gleich sein. Addieren wir nun zwei Brüche und der Nenner ist bei beiden der Gleiche, bleibt der Nenner einfach wie er ist, und wird nicht addiert. Die Zahlen werden nur im Zähler addiert!

\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{\color{red}2}+\dfrac{1}{\color{abc}3}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}3}}{{\color{red}2}\cdot {\color{abc}3}}+\dfrac{1\cdot {\color{red}2}}{{\color{abc}3}\cdot {\color{red}2}}\\[1ex]=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6}\end{array}

Ein Trick ist, die einzelnen Brüche mit der Zahl, die im anderen Bruch unter dem Bruchstrich steht, zu erweitern.

Weitere Beispiele:

So leicht ist es aber selten. Deswegen machen wir noch ein paar schwierige Aufgaben.

\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}1+\dfrac{1}{\color{abc}x}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{\color{abc}x}=\dfrac{1\cdot \color{abc}x}{1\cdot \color{abc}x}+\dfrac{1}{\color{abc}x}\\[1ex]=\dfrac{x}{\color{abc}x}+\dfrac{1}{\color{abc}x}=\dfrac{x+1}{\color{abc}x}\end{array}

Wir können eine Zahl auch einfach als Bruch schreiben. Die $1$ wird zu $\frac{1}{1}$. Weil die Nenner gleich sein müssen, erweitern wir dann mit $x$ und erhalten $\frac{x}{x}$.

Brüche subtrahieren

Das gleiche wie beim addieren. Wir bringen beide Brüche auf den gleichen Nenner. Der Nenner, Unten, bleibt unverändert, wir ziehen die Zahlen voneinander nur im Zähler, Oben, ab!

\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{\color{red}2}-\dfrac{1}{\color{abc}3}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}3}}{{\color{red}2}\cdot {\color{abc}3}}-\dfrac{1\cdot {\color{red}2}}{{\color{abc}3}\cdot {\color{red}2}}\\[1ex]=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{3-2}{6}=\dfrac{1}{6}\end{array}

Weitere Beispiele:

Auch hier gibt es schwierige Aufgaben:

\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}3-\dfrac{1}{\color{abc}x}=3\cdot \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\color{abc}x}=3\cdot\dfrac{1\cdot \color{abc}x}{1\cdot \color{abc}x}-\dfrac{1}{\color{abc}x}\\[1ex]=3\cdot \dfrac{x}{\color{abc}x}-\dfrac{1}{\color{abc}x}=\dfrac{3x}{\color{abc}x}-\dfrac{1}{\color{abc}x}=\dfrac{3x-1}{\color{abc}x}\end{array}

Wir können eine Zahl auch einfach als Bruch schreiben. Weil die Nenner gleich sein müssen, erweitern wir dann mit $x$ und erhalten $\frac{3x}{x}$.

Weitere Beispiele:

Brüche multiplizieren

Beim Multiplizieren von zwei Brüchen, multiplizieren wir einfach alle Zahlen im Zähler und alle Zahlen im Nenner.

$$\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{7}=\dfrac{2\cdot 1}{3\cdot 7}=\dfrac{2}{21}$$

Steht in einem Bruch im Zähler die gleiche Zahl wie im Nenner, kann man diese einfach kürzen.

\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\cancel{{\color{abc}2}}\cdot 1}{3\cdot \cancel{{\color{abc}2}}}=\dfrac{1}{3}\end {array}

Weitere Beispiele:

Sonderfall: Zahl mal Bruch

\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}3}\cdot \dfrac{\color{abc}1}{2}= \dfrac{{\color{abc}3}\cdot 1}{2}=\dfrac{{\color{abc}3}}{2} \end{array}

Wollen wir einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren, multiplizieren wir die Zahl nur mit dem Zähler, also oben.

Das Ganze kann man natürlich auch mit Variablen machen.

\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}x}\cdot \dfrac{2}{3}= \dfrac{{\color{abc}x}\cdot 2}{3}=\dfrac{2x}{3} \end{array}

Brüche dividieren

$$\dfrac{1}{4}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{1\cdot 3}{4\cdot 2}=\dfrac{3}{8}$$

Staat dem $:$ können wir einfach ${}\cdot{}$ schreiben, wenn beim Bruch dahinter den Zähler und den Nenner vertauschen (Kehrwert).

Weitere Beispiele:

Doppelbruch

In der pq-Formel kommen oft Doppelbrüche vor. Kommt so einer vor, dann schreiben wir für den Bruchstrich in der Mitte einfach ein $:$-Zeichen.

\begin{array}{ll}\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{1}\\[1ex]= \dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 1}=\dfrac{3}{2}\end{array}

Wir bilden den Kehrbruch und multiplizieren die beiden Brüche.

Weitere Beispiele:

Sonderfälle

Zusammenfassen

$$1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}$$

Warum können wir statt $1$ jetzt auch $\dfrac{x}{x}$ schreiben? Oben steht das Gleiche wie Unten. Setzen wir mal für $x$ eine Zahl ein. $\dfrac{20}{20}$ heraus kommt $1$. Das Ganze kann man immer machen.

Kehrbruch

$$x^-1=\dfrac{1}{x}$$

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