Im Folgenden gehen wir die wichtigsten Themen rund ums Bruchrechnen durch:
Was ist ein Bruch?
Du kennst Zahlen wie 1,2,3,4,5 usw.
Doch was ist jetzt ein Bruch? Eine Zahl die gebrochen ist
Du kannst einen Knochen in 2 Teile brechen, aber am Ende ergeben beide Teile wieder einen Knochen.
Du kannst eine Zahl wie 1,2,3,4 usw. in mehrere Teile zerbrechen, aber am Ende ergeben diese wieder die Zahl.
Weitere bildliche Beispiele zu was ist ein Bruch:
Bildlich:
Mit Zahlen ausgedrückt:
Ein stück von zwei
Du unterteilst die pizza in x stücke und hast
dann ein stück von x und hast dann 1/x
Bildlich:
Mit Zahlen ausgedrückt:
Ein stück von zwei
Du unterteilst die pizza in x stücke und hast
dann ein stück von x und hast dann 1/x
Begriffe im Bruchrechnen
Wie in Mathe üblich gibt es auch im Bruchrechnen Begriffe und verschiedenen Rechenregeln beim addieren, multiplizieren etc. zu beachten, diese lernst du jetzt:
Das über dem Bruchstrich nennt man Zähler, das unter dem Bruchstrich nennt man Nenner!
In den nächsten Abschnitten lernst du die Rechenregeln von Brüchen kennen.
Brüche addieren
Wollen wir Brüche miteinander addieren, muss der Nenner, also der untere Teil, bei beiden Brüchen gleich sein. Nur die Zähler werden addiert!
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{{\color{abc}3}}+\dfrac{1}{{\color{abc}3}}=\dfrac{1+1}{{\color{abc}3}}=\dfrac{2}{{\color{abc}3}}\end {array}
Addieren wir nun zwei Brüche und der Nenner ist unterschiedlich, so müssen die Nenner zuerst gleich gemacht werden.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{\color{red}2}+\dfrac{1}{\color{abc}3}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}3}}{{\color{red}2}\cdot {\color{abc}3}}+\dfrac{1\cdot {\color{red}2}}{{\color{abc}3}\cdot {\color{red}2}}\\[1ex]=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6}\end{array}
Ein Trick ist, die einzelnen Brüche mit der Zahl, die im anderen Bruch unter dem Bruchstrich steht, zu erweitern.
Weitere Beispiele:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{{\color{abc}5}}+\dfrac{3}{{\color{abc}5}}=\dfrac{1+3}{{\color{abc}5}}=\dfrac{4}{{\color{abc}5}}\end {array}
Der Nenner ist schon gleich. Wir können also einfach die Zahlen im Zähler addieren.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{\color{red}7}+\dfrac{1}{\color{abc}3}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}3}}{{\color{red}7}\cdot {\color{abc}3}}+\dfrac{1\cdot {\color{red}7}}{{\color{abc}3}\cdot {\color{red}7}}\\[1ex]=\dfrac{3}{21}+\dfrac{7}{21}=\dfrac{3+7}{21}=\dfrac{10}{21}\end{array}
Wir erweitern die beiden Brüche, dass sie den gleichen Nenner haben. Dann addieren wir die Zähler.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}2+\dfrac{1}{\color{abc}4}=2\cdot \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{\color{abc}4}\\[1ex]=2\cdot \dfrac{1\cdot {\color{abc}4}}{1\cdot {\color{abc}4}}+\dfrac{1}{{\color{abc}4}}=2\cdot \dfrac{4}{\color{abc}4}+\dfrac{1}{\color{abc}4}\\[1ex]=\dfrac{2\cdot \color{abc}4}{\color{abc}4}+\dfrac{1}{\color{abc}4}=\dfrac{8}{\color{abc}4}+\dfrac{1}{\color{abc}4}\\[1ex]=\dfrac{8+1}{\color{abc}4}=\dfrac{9}{\color{abc}4}\end{array}
Hier formen wir die $2$ in einen Bruch um und erweitern sie mit $4$.
So leicht ist es aber selten. Deswegen machen wir noch ein paar schwierige Aufgaben.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}1+\dfrac{1}{\color{abc}x}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{\color{abc}x}=\dfrac{1\cdot \color{abc}x}{1\cdot \color{abc}x}+\dfrac{1}{\color{abc}x}\\[1ex]=\dfrac{x}{\color{abc}x}+\dfrac{1}{\color{abc}x}=\dfrac{x+1}{\color{abc}x}\end{array}
Wir können eine Zahl auch einfach als Bruch schreiben. Die $1$ wird zu $\frac{1}{1}$. Weil die Nenner gleich sein müssen, erweitern wir dann mit $x$ und erhalten $\frac{x}{x}$.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}x}}{x\cdot {\color{abc}x}}+\dfrac{1}{x^2}\\[1ex]=\dfrac{x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x+1}{x^2}\end{array}
Wir erweitern mit $x$. Die Nenner sind dann gleich, also können wir einfach den Zähler addieren.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{x^2+2x+1}+\dfrac{x}{x^2+2x+1}\\[1ex]=\dfrac{1+x}{\underbrace{x^2+2x+1}_{\mathrm{Binomische}\; \mathrm{Formel}}}\\[1ex]=\dfrac{x+1}{(x+1)^2}\\[1ex]=\dfrac{\cancel{{\color{abc}(x+1)}}\cdot 1}{\cancel{{\color{abc}(x+1)}}\cdot (x+1)}\\[1ex]=\dfrac{1}{x+1}\end{array}
Bei Brüchen heißt es immer vollständig kürzen, sonst gibt es Punktabzug. In unserem Fall steht im Nenner, Unten, die erste Binomische Formel. Wir kürzen und erhalten den vereinfachten Bruch $\frac{1}{x+1}$.
Brüche subtrahieren
Das gleiche wie beim addieren. Wir bringen beide Brüche auf den gleichen Nenner. Der Nenner, Unten, bleibt unverändert, wir ziehen die Zahlen voneinander nur im Zähler, Oben, ab!
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{2}{{\color{abc}3}}-\dfrac{1}{{\color{abc}3}}=\dfrac{2-1}{{\color{abc}3}}=\dfrac{1}{{\color{abc}3}}\end {array}
Sind die Nenner unterschiedlich, müssen diese angepasst werden.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{\color{red}2}-\dfrac{1}{\color{abc}3}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}3}}{{\color{red}2}\cdot {\color{abc}3}}-\dfrac{1\cdot {\color{red}2}}{{\color{abc}3}\cdot {\color{red}2}}\\[1ex]=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{3-2}{6}=\dfrac{1}{6}\end{array}
Weitere Beispiele:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{\color{red}4}-\dfrac{1}{\color{abc}3}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}3}}{{\color{red}4}\cdot {\color{abc}3}}-\dfrac{1\cdot {\color{red}4}}{{\color{abc}3}\cdot {\color{red}4}}=\dfrac{3}{12}-\dfrac{4}{12}\\[1ex]=\dfrac{3-4}{12}=\dfrac{-1}{12}=-\dfrac{1}{12}\end{array}
Der Nenner muss der Gleiche sein. Wir erweitern und ziehen die Brüche voneinander ab.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{\color{abc}3}-1=\dfrac{1}{\color{abc}3}-1\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{\color{abc}3}-1\dfrac{1\cdot \color{abc}3}{1\cdot \color{abc}3}=\dfrac{1}{\color{abc}3}-\dfrac{\color{abc}3}{\color{abc}3}=\dfrac{1-3}{\color{abc}3}=\dfrac{-2}{\color{abc}3}=-\dfrac{2}{\color{abc}3}\end{array}
Wir formen die $1$ in einen Bruch um und erweitern sie mit $3$.
Auch hier gibt es schwierige Aufgaben:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}3-\dfrac{1}{\color{abc}x}=3\cdot \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\color{abc}x}=3\cdot\dfrac{1\cdot \color{abc}x}{1\cdot \color{abc}x}-\dfrac{1}{\color{abc}x}\\[1ex]=3\cdot \dfrac{x}{\color{abc}x}-\dfrac{1}{\color{abc}x}=\dfrac{3x}{\color{abc}x}-\dfrac{1}{\color{abc}x}=\dfrac{3x-1}{\color{abc}x}\end{array}
Wir können eine Zahl auch einfach als Bruch schreiben. Weil die Nenner gleich sein müssen, erweitern wir dann mit $x$ und erhalten $\frac{3x}{x}$.
Weitere Beispiele:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}x}}{x\cdot {\color{abc}x}}-\dfrac{1}{x^2}\\[1ex]=\dfrac{x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}\end{array}
Wir erweitern mit $x$. Die Nenner sind dann gleich, also können wir einfach den Zähler abziehen.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{x^2-1}-\dfrac{x}{x^2-1}\\[1ex]=\dfrac{-x+1}{x^2-1}\\[1ex]=\dfrac{1-x}{\underbrace{x^2-1}_{\mathrm{Binomische}\; \mathrm{Formel}}}\\[1ex]=\dfrac{{\color{red}-}{\color{abc}(x-1)}}{{\color{abc}(x-1)}\cdot (x+1)}\\[1ex]={\color{red}-}\dfrac{{\color{abc}(x-1)}}{{\color{abc}(x-1)}\cdot (x+1)}\\[1ex]=-\dfrac{\cancel{{\color{abc}(x-1)}}\cdot 1}{\cancel{{\color{abc}(x-1)}}\cdot (x+1)}\\[1ex]=\dfrac{1}{x+1}\end{array}
Bei Brüchen heißt es immer vollständig kürzen, sonst gibt es Punktabzug. In unserem Fall steht im Nenner, Unten, die dritte Binomische Formel. Wir kürzen und erhalten den vereinfachten Bruch $\frac{1}{x+1}$. Bei $-x+1$ klammern wir das Minus aus und erhalten $-(x-1)$.
Brüche multiplizieren
Beim Multiplizieren von zwei Brüchen gilt:
$$\dfrac{\text{Zähler}\cdot\text{Zähler}}{\text{Nenner}\cdot\text{Nenner}}$$
$$\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{d}=\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}$$
Beispiel:
$$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}=\dfrac{3}{8}$$
Steht in einem Bruch im Zähler die gleiche Zahl wie im Nenner, kann man diese einfach kürzen.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\cancel{{\color{abc}2}}\cdot 1}{3\cdot \cancel{{\color{abc}2}}}=\dfrac{1}{3}\end {array}
Weitere Beispiele:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{\cancel{\color{abc}3}\cdot 2}{6\cdot \cancel{\color{abc}3}}\\[1ex]=\dfrac{2}{6}=\dfrac{\cancel{\color{abc}2}\cdot 1}{\cancel{\color{abc}2}\cdot 3}=\dfrac{1}{3}\end {array}
Die $3$ ist im Zähler und Nenner, also kürzen wir sie. Die Zahl $6$ kann man auch als $2\cdot 3$ schreiben. Wir kürzen und erhalten einen vollständig gekürzten Bruch.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{3}{x^2}\cdot\dfrac{x}{3}=\dfrac{\cancel{\color{abc}3}\cdot x}{x^2\cdot \cancel{\color{abc}3}}\\[1ex]=\dfrac{x}{x^2}=\dfrac{x}{x\cdot x}=\dfrac{\cancel{\color{abc}x}\cdot 1}{\cancel{\color{abc}x}\cdot x}=\dfrac{1}{x}\end {array}
Nach dem Kürzen erhalten wir den Bruch $\frac{1}{x}$.
Sonderfall: Zahl mal Bruch
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}3}\cdot \dfrac{\color{abc}1}{2}= \dfrac{{\color{abc}3}\cdot 1}{2}=\dfrac{{\color{abc}3}}{2} \end{array}
Wollen wir einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren, multiplizieren wir die Zahl nur mit dem Zähler, also oben.
Das Ganze kann man natürlich auch mit Variablen machen.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}x}\cdot \dfrac{2}{3}= \dfrac{{\color{abc}x}\cdot 2}{3}=\dfrac{2x}{3} \end{array}
Brüche dividieren
$$\frac{a}{b} : \frac{{\color{red}c}}{{\color{blue}d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{{\color{blue}d}}{{\color{red}c}}$$
Staat dem $:$ können wir einfach ${}\cdot{}$ schreiben, wenn beim Bruch dahinter den Zähler und den Nenner vertauschen (Kehrwert).
Beispiel:
$$\dfrac{1}{4}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{1\cdot 3}{4\cdot 2}=\dfrac{3}{8}$$
Weitere Beispiele:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{3}{7}:\dfrac{3}{13}=\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{13}{3}\\[1ex]=\dfrac{\cancel{{\color{abc}3}}\cdot 13}{7\cdot \cancel{{\color{abc}3}}}=\dfrac{13}{7}\end {array}
Wir bilden den Kehrbruch und multiplizieren die Brüche. Dabei können wir noch kürzen.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{2x}{3}:\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{2x}{3}\cdot \dfrac{2}{x^2}\\[1ex]=\dfrac{2\cdot x}{3}\cdot \dfrac{2}{x \cdot x}=\dfrac{2\cdot \cancel{{\color{abc}x}}\cdot 2}{3\cdot \cancel{{\color{abc}x}}\cdot x}\\[1ex]=\dfrac{2\cdot 2}{3 \cdot x}=\dfrac{4}{3x}\end {array}
Wir bilden den Kehrbruch und multiplizieren die Brüche. Dabei können wir noch kürzen.
Doppelbruch
In der pq-Formel kommen oft Doppelbrüche vor. Kommt so einer vor, dann schreiben wir für den Bruchstrich in der Mitte einfach ein $:$-Zeichen.
\begin{array}{ll}\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{1}\\[1ex]= \dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 1}=\dfrac{3}{2}\end{array}
Wir bilden den Kehrbruch und multiplizieren die beiden Brüche.
Weitere Beispiele:
\begin{array}{ll}\dfrac{-\dfrac{1}{5}}{2}=-\dfrac{1}{5}:2=\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{2}\\[1ex]= \dfrac{1\cdot 1}{5\cdot 2}=\dfrac{1}{10}\end{array}
$2$ können wir als $\frac{2}{1}$ schreiben, deswegen ist der Kehrbruch auch $\frac{1}{2}$.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{-\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3x}}=-\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{3x}=-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3x}{1}\\[1ex]= -\dfrac{1\cdot 3x}{3\cdot 2}=-\dfrac{1\cdot \cancel{\color{abc}3} \cdot x}{\cancel{\color{abc}3}\cdot 2}=-\dfrac{x}{2}\end{array}
Ein häufiges Problem sind Vorzeichen bei Brüchen:
Ist beispielsweise der Zähler negativ, können wir das Vorzeichen einfach vor den Bruch schreiben. Das Gleiche gilt für den Nenner.
\begin{align} \dfrac{{\color{red}-}3}{4}&={\color{red}-}\dfrac{3}{4}\\[1ex]\dfrac{3}{{\color{red}-}4}&={\color{red}-}\dfrac{3}{4}\\[1ex]\dfrac{{\color{red}-}3}{{\color{red}-}4}&=\dfrac{3}{4}\end{align}
Brüche erweitern
Wollen wir einen Bruch erweitern, multiplizieren wir den Zähler, also das über dem Bruchstrich, und Nenner, das unter dem Bruchstrich, mit der gleichen Zahl.
Was du oben machst, machst du auch unten!
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{4}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}2}}{4\cdot {\color{abc}2}}=\dfrac{2}{8}\end{array}
Weitere Beispiele:
Jetzt erweitern wir mit einer Variabel:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{3+x}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}x}}{(3+x)\cdot {\color{abc}x}}=\dfrac{x}{3x+x^2}\end{array}
Einfach immer Oben und Unten mit der gleichen Zahl multiplizieren
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot {\color{abc}(x^2+3x)}}{2\cdot {\color{abc}(x^2+3x)}}=\dfrac{x^2+3x}{2x^2+6x}\end{array}
Oft ist auch das wichtig, wenn wir beispielsweise Zusammenfassen sollen.
Brüche kürzen
Kürzen ist eine Möglichkeit Brüche zu vereinfachen.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{2}{8}=\dfrac{1\cdot \cancel{{\color{abc}2}}}{4\cdot \cancel{{\color{abc}2}}}=\dfrac{1}{4}\end{array}
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{1000}{2000}+\dfrac{2000}{2000}=\dfrac{1\cdot \cancel{{\color{abc}1000}}}{2\cdot \cancel{{\color{abc}1000}}}+\dfrac{2\cdot \cancel{{\color{abc}1000}}}{2\cdot \cancel{{\color{abc}1000}}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}=\dfrac{3}{2}\end{array}
Die $2$ steht jetzt im Zähler, Oben, und im Nenner, Unten. Somit können wir sie kürzen.
Weitere Beispiele:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{x}{x^2}=\dfrac{1\cdot \cancel{{\color{abc}x}}}{x\cdot \cancel{{\color{abc}x}}}=\dfrac{1}{x}\end{array}
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{(x+3)}{(x+3)\cdot (x-1)}\\[1ex]=\dfrac{\cancel{{\color{abc}(x+3)}}\cdot 1}{\cancel{{\color{abc}(x+3)}}\cdot (x-1)}\\[1ex]=\dfrac{1}{(x-1)}\end{array}
In dem Fall haben wir den ganzen Zähler gekürzt. Wenn wir sowas machen, steht da dann immer eine $1$ und keine $0$.
Schwieriger wird es, wenn eine Summe im Bruch steht. Bevor wir kürzen können, müssen wir zuerst ausklammern.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{4+6x}{4}=\dfrac{\cancel{{\color{abc}2}}\cdot (2+3x)}{\cancel{{\color{abc}2}}\cdot 2}=\dfrac{2+3x}{2}\end{array}
Weitere Beispiele:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{2-4x}{2x}=\dfrac{ \cancel{{\color{abc}2}}\cdot (1-x)}{\cancel{{\color{abc}2}}\cdot x}=\dfrac{1-x}{x}\end{array}
Steht ein $-$ im Zähler ist es genau das Gleiche.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{2x^2+6x+2}{x^2+3x+1}\\[1ex]=\dfrac{2 \cdot{\color{abc}(x^2+3x+1)}}{1 \cdot{\color{abc}(x^2+3x+1)}}\\[1ex]=\dfrac{2 \cdot{\cancel{\color{abc}(x^2+3x+1)}}}{1 \cdot{\cancel{\color{abc}(x^2+3x+1)}}}\\[1ex]=\dfrac{2}{1}=2 \end{array}
hier klammern wir zuerst $x^2+3x+1$ aus und kürzen dann.
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}\dfrac{e^x\cdot x^2+e^x \cdot x}{e^x}=\dfrac{{\color{abc}e^x}\cdot (x^2+x)}{{\color{abc}e^x}}\\[1ex]=\dfrac{\cancel{{\color{abc}e^x}}\cdot (x^2+x)}{\cancel{{\color{abc}e^x}}\cdot 1}=\dfrac{x^2+x}{1}\end{array}
Wir können nur aus einem Produkt kürzen. Deswegen klammern wir hier zuerst aus und kürzen dann $e^x$.
Sonderfälle
Sonderfall: Zahl zu Bruch
Wir können aus Zahlen auch einfach Brüche machen. Und sie dann einfach erweitern.
$$1=1\cdot 1=1\cdot \dfrac{1}{1}=\dfrac{2}{2}=\dfrac{x}{x}$$
Das ganze jetzt nochmal mit der Zahl $3$.
$$3=3\cdot 1=3\cdot \dfrac{1}{1}=3\cdot \dfrac{2}{2}=3 \cdot \dfrac{x}{x}$$
Wichtig ist das, wenn man Zahlen mit Brüchen addieren/subtrahieren soll.
Zusammenfassen
$$1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}$$
Warum können wir statt $1$ jetzt auch $\dfrac{x}{x}$ schreiben? Oben steht das Gleiche wie Unten. Setzen wir mal für $x$ eine Zahl ein. $\dfrac{20}{20}$ heraus kommt $1$. Das Ganze kann man immer machen.
Wir fassen zusammen:
\begin{array}{ll}1+\dfrac{-x^2}{x^2+4x+3}=\dfrac{x^2+4x+3}{x^2+4x+3}+\dfrac{-x^2}{x^2+4x+3}\\[1ex]=\dfrac{x^2+4x+3-x^2}{x^2+4x+3}=\dfrac{4x+3}{x^2+4x+3}\end{array}
Wir fassen zusammen:
\begin{array}{ll}2-\dfrac{2x^2}{x^2+2x+1}\\[1ex]=2\cdot \dfrac{x^2+2x+1}{x^2+2x+1}-\dfrac{2x^2+2}{x^2+2x+1}\\[1ex]=\dfrac{2\cdot (x^2+2x+1)}{x^2+2x+1}-\dfrac{2x^2+2}{x^2+2x+1}\\[1ex]=\dfrac{2x^2+4x+2)}{x^2+2x+1}-\dfrac{2x^2+2}{x^2+2x+1}\\[1ex]=\dfrac{2x^2+4x+2-(2x^2+2)}{x^2+2x+1}\\[1ex]=\dfrac{2x^2+4x+2-2x^2-2)}{x^2+2x+1}\\[1ex]=\dfrac{4x)}{x^2+2x+1}\end{array}
Wir fassen zusammen:
\begin{array}{ll}3-\dfrac{3x^2+6x+3}{x^2+3x+2}\\[1ex]=3\cdot \dfrac{x^2+3x+2}{x^2+3x+2}-\dfrac{3x^2+6x+3}{x^2+3x+2}\\[1ex]= \dfrac{3\cdot(x^2+3x+2)}{x^2+3x+2}-\dfrac{3x^2+6x+3}{x^2+3x+2}\\[1ex]=\dfrac{3x^2+9x+6}{x^2+3x+2}-\dfrac{3x^2+6x+3}{x^2+3x+2}\\[1ex]=\dfrac{3x^2+9x+6-(3x^2+6x+3)}{x^2+3x+2}\\[1ex]=\dfrac{3x^2+9x+6-3x^2-6x-3}{x^2+3x+2}\\[1ex]=\dfrac{3x+3}{x^2+3x+2}=\dfrac{3\cdot (x+1)}{x^2+3x+2}\\[1ex]=\dfrac{3\cdot (x+1)}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{3}{x+2}\end{array}
Kehrbruch
$$x^-1=\dfrac{1}{x}$$
