Vielleicht kennst du die e-Funktion auch als “natürliche Exponentialfunktion”. Was es damit auf sich hat schauen wir uns im Folgenden an.
In diesem Kapitel schauen wir uns die e-Funktion genauer an:
Inhaltsverzeichnis
- Nullstellen berechnen
- Symmetrie
- Definitionsbereich
- Wertemenge
- Polstelle
- Asymptote
- Limes
- Ableiten
- Monotonie
- Integral
Basics [genauer]
Potenzfunktionen kennst du ja schon (z.B. $y=x^2$). Die Basis ist eine Variable und die Potenz ist eine Zahl. Bei Exponentialfunktionen ist das ganze dann gedreht (z.B $y =2^x$). Die Basis ist eine Zahl und die Potenz ist eine Vairble. Die e-Funktion ist ein Spezialfall bei den Exponentialfunktionen. Die basis das was unten stehet beim der efunktion ist ein e. dabei muss man wissen, dass e eine zahl ist, nämlcih 2,71… so wie pi.
Wir schauen uns den Graphen der e funktion an (y=e^x):
ooko
- Der Graph der e-Funktion verläuft immer oberhalb der x-Achse.
$\Rightarrow$ Die e-Funktion hat keine Nullstellen! - Der Graph der e-Funktion schneidet die y-Achse im Punkt $(0|1)$.
- fe
- f
- sfe
- f
Definitionsbereich
Schauen wir uns mal $f(x)=ln(x)$ gezeichnet an:
Die ln-funktion schaut aus wie eine Kurve. Aber sie verläuft nur rechts von der $y$-Achse. Die y-Achse ist die Ay
Symmetrie [mehr]
Was Symmetrie ist, kannst du hier genauer nachlesen: Symmetrie. Sollst du die Symmetrie einer Funktion untersuchen setzt du einfach in die Funktion $\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc}-x}$ ein. Schauen wir uns das mal an Beispielen an:
$$f(x)=x\cdot e^{x^2}$$
Wir setzen $\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc}-x}$ ein:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}f({\color{abc}-x})=({\color{abc}-x})\cdot e^{({\color{abc}-x})^2}\\[1ex]={\color{abc}-}x\cdot e^{x^2}={\color{abc}-}(x\cdot e^{x^2})={\color{abc}-}f(x)\end{array}
Beim $e^{x^2}$ wird das Vorzeichen positiv, da “$- \cdot -=+$” ergibt. Beim $x$ bleibt das negative Vorzeichen davor stehen und wir können es ausklammern. Wir erhalten die ursprüngliche Funktion $x\cdot e^{x^2}$ nur mit einem $-$ davor also $-f(x)$. Die Funktion ist somit Punktsymmetrisch zum Ursprung.
Die gezeichnete Funktion bestätigt die Punktsymmetrie.
Weitere Beispiele:
$$f(x)=e^{-\frac{1}{2}x}+e^{\frac{1}{2}x}$$
Wir setzen $\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc}-x}$ in die Funktion ein:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}f({\color{abc}-x})&=e^{-\frac{1}{2}\cdot ({\color{abc}-x})}+e^{\frac{1}{2}\cdot ({\color{abc}-x})}\\[1ex]&=e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\\[1ex]&=e^{-\frac{1}{2}x}+e^{\frac{1}{2}x}=f(x)\end{array}
Wir haben $\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc}-x}$ eingesetzt und es kommt die ursprüngliche Funktion wieder heraus ($f(x)$). Die Funktion ist somit Achsensymmetrisch zur y-Achse.
Schauen wir uns noch die Funktion gezeichnet an, um das zu bestätigen.
Korrekt, die Funktion ist Achsensymmetrisch zur y-Achse.
$$f(x)=4e^{x}-6x^2$$
Wir setzen $\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc}-x}$ in die Funktion ein:
\begin{array}{ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}f({\color{abc}-x})&=4e^({\color{abc}x})-6\cdot ({\color{abc}-x})^2\\[1ex]&=4e^{-x}-6x^2\\[1ex]&\neq f(x) \\[1ex]&\neq -f(x) \end{array}
Wir haben $\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc}-x}$ eingesetzt und es kommt nicht $f(x)$ und auch nicht $-f(x)$ heraus. Die Funktion ist also weder Achsenymmetrisch zur y-Achse, noch Punktsymmetrisch zum Ursprung.
Schauen wir uns noch die Funktion gezeichnet an, um das zu bestätigen.
Korrekt, die Funktion ist nicht symmetrisch.
ableiten
Schauen wir uns mal $f(x)=ln(x)$ gezeichnet an:
Die ln-funktion schaut aus wie eine Kurve. Aber sie verläuft nur rechts von der $y$-Achse. Die y-Achse ist die Ay
$$f(x)=\dfrac{e^{2x}}{x}=x^{-1}\cdot e^{2x}$$
Laut Potenzregel können wir den Bruch auch als Produkt schreiben ($\frac{1}{x}=x^{-1}$), bei manchen Aufgaben erspart man sich dadurch viel Rechnen.
Wir können jetzt mit der Quotientenregel oder mit der Produktregel ableiten, je nach Situation macht das eine oder andere mehr Sinn. Wir rechnen einfach mal beides durch:
quotienteregel
\begin{array}{rl}f'(x)&=\dfrac{2\cdot e^2x \cdot x -(e^2x\cdot 1)}{x^2}\\[1ex]&=\dfrac{2x\cdot e^2x -1 \cdot e^2x}{x^2}\\[1ex]&=\dfrac{e^2x(2x -1}{x^2}\end{array}
\begin{array}{rl}f'(x)&=\dfrac{\overbrace{2\cdot e^2x}^{\text{u’}} \cdot \overbrace{x}^{\text{v}} -(\overbrace{e^2x}^{\text{u}}\cdot \overbrace{1}^{\text{v’}})}{\underbrace{x^2}_{\text{v^{2}}}}\\[1ex]&=\dfrac{2x\cdot e^2x -1 \cdot e^2x}{x^2}\\[1ex]&=\dfrac{e^2x(2x -1}{x^2}\end{array}
produktregel
$$f'(x)=(-1)\cdot x^-2\cdot e^2x + x^-1 \cdot 2 \cdot e^2x=e^2x(-x^-2+2x^-1)$$
\begin{array}{rl}f'(x)&=(-1)\cdot x^-2\cdot e^2x + x^-1 \cdot 2 \cdot e^2x\\[1ex]&=e^2x(-x^-2+2x^-1)\end{array}
Sollte ja das gleiche ergbenis heruaskommen, wir formen um
$$e^2x(-x^-2+2x^-1)=e^2x(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x^1})=e^2x(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x^1})=e^2x(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2x}{x^2})=e^2x(\dfrac{-1+2x}{x^2})=\dfrac{e^2x(-1+2x)}{x^2}=\dfrac{e^2x(2x-1)}{x^2}$$
$$f(x)=e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$$
summenregel
\begin{array}{rl}f'(x)&=(\frac{1}{2})\cdot e^{\frac{1}{2}x}+(-\frac{1}{2})\cdot e^{-\frac{1}{2}x}\end{array}
$$f(x)=3e^{\frac{1}{3}x}-1$$
$$f(x)=e^{-3x}\cdot(x^2-x)$$
\begin{array}{rl}f'(x)&=\underbrace{(-3)\cdot e^{-3x}}_{u’}\cdot\underbrace{(x^2-x)}_{v}+\underbrace{e^{-3x}}_{u}\cdot\underbrace{(2x-1)}_{v’}\\[1ex]&=e^{-3x}(-3(x^2-x)+(2x-1))\\[1ex]&=e^{-3x}(-3x^2+3x+2x-1)\\[1ex]&=e^{-3x}(-3x^2+5x-1)\end{array}
Grenzverhalten
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e^x dominiert immer
nst
Beim Rechnen mit e-Funktionen ist meistens das Problem das $x$ aus der Potenz herunterzubekommen ($e^x \Rightarrow x=…$)
Dafür wenden wir einfach den ln auf beiden Seiten der Gleichung an
\begin{array}{rcll}f(x)&=&0\\[1ex]e^{x^2}-1&=&0&{\color{grey}|+1}\\[1ex] e^{x^2}&=&1&{\color{grey}|ln}\\[1ex] ln(e^{x^2})&=&ln(1)\\[1ex] x^2\cdot \underbrace{ln(e)}_{=1}&=&0\\[1ex] x^2&=&0&{\color{grey}|\sqrt{\;}}\\[1ex] x&=&0\end{array}
$$ln(e^x)=x \cdot ln(e)$$
$$f(x)=e^{x^2}-1$$
Wir setzen die Funktion gleich $0$:
\begin{array}{rcll}f(x)&=&0\\e^{x^2}-1&=&0&{\color{grey}|+1}\\e^{x^2}&=&1&{\color{grey}|ln}\\ln(e^{x^2})&=&ln(1)\\x^2\cdot \underbrace{ln(e)}_{=1}&=&0\\x^2&=&0&{\color{grey}|\sqrt{\;}}\\x&=&0\end{array}
\begin{array}{rcll}f(x)&=&0\\[1ex]e^{x^2}-1&=&0&{\color{grey}|+1}\\[1ex] e^{x^2}&=&1&{\color{grey}|ln}\\[1ex] ln(e^{x^2})&=&ln(1)\\[1ex] x^2\cdot \underbrace{ln(e)}_{=1}&=&0\\[1ex] x^2&=&0&{\color{grey}|\sqrt{\;}}\\[1ex] x&=&0\end{array}
$$f(x)=e^{-3x}-6$$
Wir setzen die Funktion gleich $0$:
\begin{array}{rcll}f(x)&=&0\\e^{-3x}-6&=&0&{\color{grey}|+6}\\e^{-3x}&=&6&{\color{grey}|ln}\\ln(e^{-3x})&=&ln(6)\\-3x&=&ln(6)\\-3x\cdot ln(e)&=&ln(6)&{\color{grey}|:(-3)}\\x&=&\dfrac{ln(6)}{-3}\end{array}
$$f(x)=3xe^{2x}-6e^{2x}$$
Wir setzen die Funktion gleich $0$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} f(x)&=&0\\3xe^{2x}-6e^{2x}&=&0\\3x\cdot {\color{abc}e^{2x}}-6\cdot {\color{abc}e^{2x}}&=&0\\ \underbrace{{\color{abc}e^{2x}}}_{=0}\underbrace{(3x-6)}_{=0}&=&0\end{array}
$$f(x)=e^{3x}-2e^{2x}$$
Wir setzen die Funktion gleich $0$:
\begin{array}{rcll} f(x)&=&0\\e^{3x}-2e^{2x}&=&0&{\color{gray}|+2e^x}\\e^{3x}&=&2e^{2x}&{\color{gray}|ln}\\ln(e^{3x})&=&ln(2e^{2x})\\3x \cdot \underbrace{ln(e)}_{=1}&=&ln(2)+ln(e^{2x})\\3x&=&ln(2)+2x \cdot \underbrace{ln(e)}_{=1}\\3x&=&ln(2)+2x&{\color{grey}|-2x}\\x&=&ln(2)\end{array}
Rechnen mit der e-Funktion
Beim Rechnen mit e-Funktionen ist meistens das Problem das $x$ aus der Potenz herunterzubekommen ($e^x \Rightarrow x=…$)
Dafür wenden wir einfach den natürlichen Logarithmus ($ln$) auf beiden Seiten der Gleichung an
\begin{array}{rcll}e^{2x}&=&1&{\color{grey}|ln}\\[1ex] ln(e^{2x})&=&ln(1)\end{array}
Dafür wenden wir einfach den natürlichen Logarithmus ($ln$) auf beiden Seiten der Gleichung an
\begin{array}{rcll} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}2x} \cdot \underbrace{ln(e)}_{=1}&=&\underbrace{ln(1)}_{=0}\\[1ex] 2x&=&0&{\color{grey}|:2}\\[1ex] x&=&0,5\end{array}
$$ln(e^x)=x \cdot ln(e)$$
$$f(x)=e^{x^2}-1$$
Wir setzen die Funktion gleich $0$:
\begin{array}{rcll}f(x)&=&0\\e^{x^2}-1&=&0&{\color{grey}|+1}\\e^{x^2}&=&1&{\color{grey}|ln}\\ln(e^{x^2})&=&ln(1)\\x^2\cdot \underbrace{ln(e)}_{=1}&=&0\\x^2&=&0&{\color{grey}|\sqrt{\;}}\\x&=&0\end{array}
\begin{array}{rcll}f(x)&=&0\\[1ex]e^{x^2}-1&=&0&{\color{grey}|+1}\\[1ex] e^{x^2}&=&1&{\color{grey}|ln}\\[1ex] ln(e^{x^2})&=&ln(1)\\[1ex] x^2\cdot \underbrace{ln(e)}_{=1}&=&0\\[1ex] x^2&=&0&{\color{grey}|\sqrt{\;}}\\[1ex] x&=&0\end{array}
$$f(x)=e^{-3x}-6$$
Wir setzen die Funktion gleich $0$:
\begin{array}{rcll}f(x)&=&0\\e^{-3x}-6&=&0&{\color{grey}|+6}\\e^{-3x}&=&6&{\color{grey}|ln}\\ln(e^{-3x})&=&ln(6)\\-3x&=&ln(6)\\-3x\cdot ln(e)&=&ln(6)&{\color{grey}|:(-3)}\\x&=&\dfrac{ln(6)}{-3}\end{array}
$$f(x)=3xe^{2x}-6e^{2x}$$
Wir setzen die Funktion gleich $0$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} f(x)&=&0\\3xe^{2x}-6e^{2x}&=&0\\3x\cdot {\color{abc}e^{2x}}-6\cdot {\color{abc}e^{2x}}&=&0\\ \underbrace{{\color{abc}e^{2x}}}_{=0}\underbrace{(3x-6)}_{=0}&=&0\end{array}
$$f(x)=e^{3x}-2e^{2x}$$
Wir setzen die Funktion gleich $0$:
\begin{array}{rcll} f(x)&=&0\\e^{3x}-2e^{2x}&=&0&{\color{gray}|+2e^x}\\e^{3x}&=&2e^{2x}&{\color{gray}|ln}\\ln(e^{3x})&=&ln(2e^{2x})\\3x \cdot \underbrace{ln(e)}_{=1}&=&ln(2)+ln(e^{2x})\\3x&=&ln(2)+2x \cdot \underbrace{ln(e)}_{=1}\\3x&=&ln(2)+2x&{\color{grey}|-2x}\\x&=&ln(2)\end{array}
