Da wir ja hier bei den Abitur Themen sind, rechnen wir Abitur aufgaben komplett durch.
Inhaltsverzeichnis
- Nullstellen berechnen
- Symmetrie
- Definitionsbereich
- Wertemenge
- Polstelle
- Asymptote
- Limes
- Ableiten
- Monotonie
- Integral
Symmetrie
Wir sollen die Funktion $f(x)=x^4-x^2$ auf Symmetrie untersuchen. Wir setzen für $-x$ in die Funktion ein:
$4f(-x)=(-x)^4-(-x)^2=x^4-x^2=f(x)$$
Bei Symmetrei setzen wir immer einfach -x ein
\begin{array}{ll}\left\{\begin{matrix}=f(x)\\=f(x)\\\neq f(x),-f(x)\end{matrix}\right\end{array}
Weitere Beispiele:
Untersuchen sie die Funktion auf Symmetrie.
\begin{array}{rcll} f(x)= \dfrac{4x}{(x+1)^2}\end{array}
\begin{array}{ll} f(-x)&= \dfrac{4(-x)}{((-x)+1)^2}= \dfrac{-4x}{(-x+1)^2}\\&= \dfrac{-4x}{(-x+1)^2}\neq f(x), -f(x) \end{array}
Die Funktion ist nicht Achsensymmetrisch und nicht Punktsymmetrisch.
Untersuchen sie die Funktion auf Symmetrie.
\begin{array}{rcll} f(x)= e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x} \end{array}
\begin{array}{ll} f(-x)&= e^{\frac{1}{2}(-x)}+e^{-\frac{1}{2}(-x)}\\&= e^{-\frac{1}{2}x}+e^{\frac{1}{2}x}=f(x) \end{array}
Die Funktion ist Achsensymmetrisch bezüglich zur y-Achse.
Untersuchen sie die Funktion auf Symmetrie.
\begin{array}{rcll} f(x)= \dfrac{x^2-1}{x^2+1} \end{array}
\begin{array}{ll} f(-x)&= \dfrac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1} \\&= \dfrac{x^2-1}{x^2+1} =f(x) \end{array}
Die Funktion ist Achsensymmetrisch bezüglich zur y-Achse.
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich gibt immer an, welche Zahl wir für $x$ einsetzen dürfen. Dürfen wir alle Zahlen für $x$ einsetzen, schreibt man das so: $D= \mathbb{R} $
Es gibt 3 Fälle bei denen wir aufpassen müssen:
- $$\dfrac{1}{\underbrace{x}_{\neq 0}}$$
Setzen wir für $x$ die Zahl $0$ ein, steht im Nenner (Unten) Null. Durch $0$ dürfen wir nie Teilen! Also dürfen wir alle Zahlen außer $0$ einsetzen. $D= \mathbb{R} \backslash \{0\}$ - $$\sqrt{\underbrace{x}_{x≥0}}$$
Die Zahl unter der Wurzel darf nie kleiner als $0$ sein.Wir dürfen also nur Zahlen einsetzen, die größer oder gleich $0$ sind. $D= \left[0;\infty \right[$ - $$ln(\underbrace{x}_{x>0})$$
Beim $ln$ dürfen wir nur positive Zahl einsetzen. $D= \left]0;\infty \right[$
- $\dfrac{1}{\underbrace{x-2}_{\neq 0}}$
Setzen wir für $x$ die Zahl $2$ ein, steht im Nenner (Unten) Null. Durch $0$ dürfen wir nie Teilen! Also dürfen wir alle Zahlen außer $2$ einsetzen. $D= \mathbb{R} \backslash \{2\}$ - $\sqrt{\underbrace{x-3}_{≥0}}$
Die Zahl unter der Wurzel darf nie kleiner als $0$ sein. Wir setzen für $x$ die Zahl $3$ ein und erhalten $0$. Wir dürfen also nur Zahlen einsetzen, die größer oder gleich $3$ sind. $D= \left[3;\infty \right[$ - $ln(\underbrace{x-1}_{x>0})$
Beim $ln$ dürfen wir nur positive Zahl einsetzen. Setzen wir für $x$ die Zahl 1 ein, sthet im ln 0. Null dürfen wir aber nciht einsetzen, deswegen dürfen wir nur Zahlen größer als 1 einsetzen. $D= \left]0;\infty \right[$
- $\dfrac{1}{etwas}$ egal was in einem Bruch im Nenner (Unten) steht, es darf nicht $0$ sein! Wir müssen also dafür sorgen, dass im Nenner nie $0$ steht!
- $\sqrt{etwas}$ wir drfen keine wurzel bei einer neagtiven Zahl ziehen.
$$f(x)=\dfrac{1}{\underbrace{x-1}_{\neq 0}}$$
Bei Brüchen dürfen wir nicht durch Null teilen. Wir schauen wann der Nenner Null wird:
$$x-1\neq0 \Rightarrow x\neq1$$
Also dürfen wir nicht für $x$ die Zahl $1$ einsetzen. Somit: $D= \mathbb{R} \backslash \{1\}$
$$f(x)=\dfrac{\overbrace{lnx}_{x>0}}{\underbrace{x^2}_{x\neq 0}}$$
Der Nenner darf nicht null werden (also $x \neq 0$). Wegen des $ln$ muss $x$ positiv sein ($x>0$). Wir dürfen also nur positive Zahl einsetzen dun die Null nicht. In Mathe schreibt man das so: $D= \mathbb{R}^+$ oder $D= \left]0;\infty \right[$
Symmetrie
$\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc}-x}$ in die Funktion einsetzen $\Rightarrow f(\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc}-x})$
- kommt $f(x)$ heraus, ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse
- kommt $\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc}-}f(x)$ heraus, ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung
- kommt nichts von beiden heraus, ist die Funktion nicht Symmetrisch
