Quadratische Funktionen

In diesem Beitrag schauen wir uns alles an, was du zu Quadratischen Funktionen wissen musst.

Was sind quadratische Gleichungen?

Wollen wir eine quadratische Funktion verschieben ist die Normalparabel $y=x^2$ ganz wichtig.

Wir sehen die Funktion schaut so ähnlich aus wie ein V oder U, das nennt man Parabel. Der Scheitelpunkt ist bei $(0|0)$. Das ist immer der höchste oder niedrigste Punkt der Funktion, in unserem Fall der niedrigste. Außerdem ist die Funktion nach oben geöffnet. Wir können die Normalparabel auf verschiedene Möglichkeiten verändern:

• Den Scheitelpunkt in $x$-Richtung verschieben (nach links oder nach rechts)
• Den Scheitelpunkt $y$-Richtung verschieben (nach oben oder nach unten)
• Die Funktion strecken (enger machen) oder stauchen (breiter machen)
• Die Funktion nach oben oder nach unten öffnen

Verschiebung in $x$-Richtung:

Wir verschieben die Normalparabel in $x$-Richtung, das heißt nach rechts oder links:

Wir sehen der Scheitelpunkt wurde und die Funktion wurden um $3$ nach rechts verschoben.

\begin{array}{ll}S(0|0)&\Rightarrow&S(3|0)\\[1ex]f(x)=x^2 &\Rightarrow& g(x)=(x-3)^2\end{array}

Wir haben den Scheitelpunkt verschoben $S(0|0) \Rightarrow S(3|0)$. Verschieben wir nach links oder rechts müssen wir aufpassen mit den Vorzeichen. Der Scheitelpunkt ist jetzt zwar $S(3|0)$, die Funktion ist aber $g(x)=(x-3)^2$. Also kann man sagen beim links oder rechts verschieben ist immer Gegenteiltag. Verschieben wir auf der $x$-Achse in positive Richtung, also wie auch in unserem Beispiel, ist die Funktion nicht $g(x)=(x\;{\color{red}+\; 3})^2$, sondern $g(x)=(x\;{\color{red}-\; 3})^2$. Das ist ganz wichtig!

Jetzt haben wir die Funktion nach links verschoben:

Der Scheitelpunkt und die Funktion wurden um $3$ nach links verschoben.

Ablesen können wir das an der Funktionsgleichung $g(x)=(x+3)^2$. $+3$ in der Klammer bedeutet, $3$ nach links verschoben.

Verschiebung in $y$-Richtung:

Die Verschiebung in $y$-Richtung können wir einfach ablesen, es ist immer die Zahl, die durch ein Vorzeichen von der Klammer oder dem $x^2$ getrennt ist. Mal ein Beispiel:

Wir sehen der Scheitelpunkt und die Funktion wurde um $3$ nach oben verschoben. $x^2+3\Rightarrow 3$ nach oben verschoben, also auch in positive $y$-Richtung.

Wir schauen uns noch eine Funktion an, die nach unten verschoben wurde:

Die Funktion ist $g(x)=x^2-3$. Also wurde sie um $3$ nach unten (in negative $y$-Richtung) verschoben.

Streckung/Stauchung:

Eine Funktion kann auch enger oder breiter sein als die Normalparabel. Wir schauen dafür immer die Zahl vor dem $x^2$ oder der Klammer an. Dabei orientieren wir uns immer an der Normalparabel $f(x)=x^2$, wir können auch schreiben $f(x)=1\cdot x^2$. Ist die Zahl größer als $1$, ist die Funktion enger (gestreckt) als die Normalparabel. Ist die Zahl zwischen $0$ und $1$, ist die Funktion breiter (getaucht) als die Normalparabel.
Bsp.: $f(x)=5x^2 \Rightarrow$ Funktion ist um den Faktor $5$ enger (gestreckt).
$f(x)=0,2(x-2)^2 \Rightarrow$ Funktion ist um den Faktor $0,2$ breiter (gestaucht).

Die Funktion $g(x)=5x^2$ ist enger (gestreckt), da $5$ größer als $1$ ist. Also im $g(x)$ im Vergleich zur Normalparabel gestreckt. Der Scheitelpunkt ändert sich nicht.

Wir schauen uns noch ein Beispiel zum Stauchen an:

Wir sehen die Zahl vor der Funktion $g(x)=0,2x^2$ ist zwischen $0$ und $1$. Die Funktion ist somit breiter (gestaucht) als die Normalparabel $f(x)$. Auch hier ändert sich der Scheitelpunkt nicht.

Öffnung nach oben/unten:

Wir sehen die Zahl vor der Funktion $g(x)=0,2x^2$ ist zwischen $0$ und $1$. Die Funktion ist somit breiter (gestaucht) als die Normalparabel $f(x)$. Auch hier ändert sich der Scheitelpunkt nicht.

Beispiele

Wir haben eine Funktion gegeben und sollen anhand der Funktionsgleichung ablesen wie die Funktion aussieht:

$$f(x)=-2\cdot (x-1)^2+3$$

Den Scheitelpunkt können wir immer direkt ablesen, wenn die Funktion in der Scheitelpunktform dasteht. Hier ist sie es. Der Scheitelpunkt ist $S(1|3)$. Wir müssen das Vorzeichen von der Zahl in der Klammer umdrehen. Die $-1$ wird zu $1$.

• $-2$ vor der Klammer: Das $-$ bedeutet die Funktion ist nach unten geöffnet. $2$ ist größer als $1$, deswegen ist die Funktion enger als die Normalparabel, also gestreckt.
• $-1$ in der Klammer: Die Funktion ist um 1 nach rechts verschoben (Gegenteil).
• $+3$ hinter der Klammer: Die Funktion ist um 3 nach oben verschoben.

Weitere Beispiele:

Nullstellen

Eine Nullstelle nennt man den Schnittpunkt einer Funktion mit der $x$-Achse. Bei quadratischen Funktionen kann es immer 0, 1 oder 2 Nullstellen geben. Wir schauen uns das mal an:

• Die Funktion $g$ schneidet die $x$-Achse in zwei Punkten. Die Funktion $g$ hat also zwei Nullstellen.
• Die Funktion $f$ schneidet die $x$-Achse in einem Punkt. Somit hat die Funktion $f$ eine Nullstelle.
• Die Funktion $h$ schneidet die $x$-Achse in keinem Punkt. Somit hat die Funktion $h$ keine Nullstelle.

Wollen wir also die Nullstelle berechnen, setzen wir für das $f(x)$ oder $y$ einfach $0$ ein.

$$f(x)=2x^2-4x -6 \Rightarrow 2x^2-4x -6=0$$

Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Der nächste Schritt ist jetzt die Gleichung zu lösen, heißt: Am Schluss darf auf einer Seite nur das $x$ stehen.

eine quadartsiche funktion hat immer 3 Teile:

$$f(x)=2x^2+4x-6$$

Fall 1: $f(x)=3x^2-12$

Das Ziel ist $x=…$ stehen zu haben.

$$f(x)=3x^2-12 \Rightarrow 3x^2-12=0$$

\begin{array}{rcll}3x^2-12&=&0&{\color{grey}|+12}\\[1ex]3x^2&=&12&{\color{grey}|:3}\\[1ex]x^2&=&4&{\color{grey}|\sqrt{\;}}\\[1ex]x&=&\pm \sqrt{4}\\[1ex]x&=&\pm 2\end{array}

Wir erhalten 2 Lösungen:

\begin{array}{ll}\Rightarrow x_1&=&+ 2\\[1ex]\Rightarrow x_2&=&- 2\end{array}

Wir erhalten 2 Lösungen, also hat die Funktion zwei Nullstellen an den Stellen $x_1=2$ und $x_2=-2$.

Ausführlich gelöst und noch weitere Beispielaufgaben findest du hier: Quadratische Gleichung

Fall 2: $f(x)=4x^2+12x$

$$f(x)=4x^2+12x \Rightarrow 4x^2+12x=0$$

Wir klammern $x$ aus und setzen die einzelnen Teile gleich $0$.

$$\underbrace{x}_{=0}\cdot\underbrace{(4 \cdot x+12)}_{=0}=0$$

1. Gleichung:

\begin{array}{rcll} x&=&0\end{array}

2. Gleichung:

\begin{array}{rcll} 4 \cdot x+12&=&0&{\color{Gray}|-12}\\[1ex] 4 \cdot x &=&-12&{\color{Gray}|:4}\\[1ex] x &=&-3 \end{array}

\begin{array}{lrr} \Rightarrow x_1&=&0\\[1ex] \Rightarrow x_2&=&-3 \end{array}

Ausführlich gelöst und noch weitere Beispielaufgaben findest du hier: Quadratische Gleichung

Fall 3: $f(x)=2x^2-4x -6$

$$f(x)=2x^2-4x -6 \Rightarrow 0=2x^2-4x -6$$

Ausführlich gelöst und noch weitere Beispielaufgaben findest du hier: Quadratische Gleichung

Scheitelpunktform

Wir können eine quadratische Funktion in verschiedenen Formen darstellen:

Allgemeine Form:$f(x)= 3x^2+2x+4\Rightarrow f(x)= ax^2+bx+c$

Scheitelpunktform:$f(x)= 2(x-3)^2+3\Rightarrow f(x)= a\cdot (x-d)^2+e$

Oft ist die Allgemeine Form gegeben und wir sollen den Scheitelpunkt bestimmen. Dafür müssen wir die Funktionsgleichung verändern.

Was ist das überhaupt?

Scheitelpuntkform erkennen/ablesen

Schwieriger ist es wenn wir den Scheitelpunkt aus einer Funktion direkt erkennen sollen. Mal ein Beispiel:

$$y=2\cdot (x-2)+1$$

\begin{array} {ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} y={\color{abc}2}\cdot (x-2)+1\end{array}

Die Zahl von der Klammern sagt immer aus ob die Funktion gestreckt oder gestaucht ist. Wollen wir den Scheitelpunkt erkennen, brauchen wir die Zahl nicht zu beachten.

\begin{array} {ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} y=2\cdot (x\;{\color{abc}-\;2})+1\end{array}

Die Zahl in der Klammer gibt die Verschiebung in $x$-Richtung an. Die Zahl die wir anschauen ist $-2$.Ganz wichtig dabei ist, das Vorzeichen gehört immer zu der Zahl danach, deswegen ja auch Vorzeichen. Wir nehmen also die $-2$ und drehen das Vorzeichen um. unsere Zahl ist jetzt $2$. $\Rightarrow S(2|?)$

\begin{array} {ll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} y=2\cdot (x-2)\;{\color{abc}+\;1}\end{array}

Die Zahl am Schluss gibt die Verschiebung in $y$-Richtung an. Das Vorzeichen gehört auch wieder zu der Zahl. Die Funktion ist um $+1$ verschoben. Wir schreiben den Scheitelpunkt auf. $\Rightarrow S(2|1)$

Schwieriger ist es wenn wir den Scheitelpunkt aus einer Funktion direkt erkennen sollen. Für große Verwirrung sorgt

Weitere Beispiele:

\begin{array}{c|c}  \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} \mathrm{Funktion} & \mathrm{Scheitelpunkt} \\ \hline  2\cdot (x \;{\color{red}- \; 3})^2+{\color{abc} 4}& S({\color{red}3}|{\color{abc}4}) \\[1ex] -0,45\cdot (x \;{\color{red}+ \; 7})^2+{\color{abc}36}& S({\color{red}-7}|{\color{abc}36}) \\[1ex] \end{array}

Allgemeine Form in Scheitelpunktform

Im Grunde geht es immer darum dass wir eine binomische Formel zusammenfassen. Mal ein Beispiel:

\begin{array}{ll}f(x) =a^2+2ab=a^2+2ab\; \underbrace{+\;b^2\;-\;b^2}_{=0}\\[1ex]=(a+b)^2-b^2\end{array}

Uns hat ein $b^2$ gefehlt um die Binomische Formel zusammenzufassen. Bei Gleichungen können wir immer etwas dazu addieren wenn wir es auch wieder abziehen also $+b^2-b^2$. Das ist das gleiche wie $+1-1$, es ist $0$. Wir haben also das $b^2$ quadratisch ergänzt, um die Binomische Formel zu vereinfachen. Das gleiche machen wir jetzt mit einem weiteren Beispiel:

$$f(x)=\underbrace{x^2}_{a^2}\; \underbrace{+4x}_{2ab}\underbrace{…}_{b^2 fehlt}$$

Wir sehen, wir haben die erste binomische Formel aber der Teil $b^2$ fehlt. Wir ergänzen den $b^2$-Teil einfach. Das nennt man dann quadratisch Ergänzen.

$$\underbrace{x^2}_{a^2}+\underbrace{{\color{red}\;+\;4}}_{2ab}+\underbrace{\left ( \dfrac{{\color{red}+4}}{2}\right )^2}_{b^2}-\left ( \dfrac{{\color{red}+4}}{2}\right )^2$$

$$\underbrace{x^2{\color{red}\;+\;4}+\left ( \dfrac{{\color{red}+4}}{2}\right )^2}_{a^2+2ab+b^2}-\underbrace{\left ( \dfrac{{\color{red}+4}}{2}\right )^2}_{-b^2}$$

Dabei nehmen wir immer die Zahl vor dem $x$ (hier: ${\color{+4}}$). Unser $b^2$ ist $(\frac{+4}{2})^2$.

$$\underbrace{x^2+4x+2^2}_{a^2+2ab+b^2}-2^2=(x+2)^2-4$$

Weitere Beispiele:

Scheitelpunktform in Allgemeine Form

Wir formen die Scheitelpunktform in die allgemeine Form um:

$$y=2(x+1)^2+4$$

Wir wenden die erste binomische Formel an und setzen das Ergebnis in Klammern.

\begin{array}{ll}y={\color{red}2}(x^2+2x+1)+4\end{array}

Jetzt müssen wir die Klammer noch ausmulitplizieren.

\begin{array}{ll}y&={\color{red}2}\cdot x^2+{\color{red}2}\cdot x+{\color{red}2}\cdot 1+4\\[1ex]&=2x^2+4x+2+4\end{array}

Zum Schluss fassen wir noch zusammen.

$$y=2x^2+4x+6$$

Weitere Beispiele: