Quadratische Gleichung

Algebra

In diesem Kapitel schauen wir uns an was eine quadratische Gleichung ist und vor allem wie du die unterschiedlichen Formen am besten lösen kannst.

Was sind quadratische Gleichungen?

Was ist eine quadratische Gleichung?

  • $2x^2+3x-7=0$
  • $3x^2+-7=5x+3$
  • $-5x^2=4x^2+5x-6$

Allgemein schreibt man das ganze dann immer so:

$$ax^2+bx+c=0$$

Das bleibt immer gleich, es werden nur unterschiedliche Zahlen für die Variablen $a$, $b$ und $c$ eingesetzt.

Das hier wäre dann keine quadratische Gleichung, da der quadratische Teil fehlt:

$5x-5=0$

Klar, weil in der Gleichung kein $x^2$ steht.

Was ist dieses Lösen?

Wir haben jetzt unsere quadratische Gleichung. In den meisten Fällen heißt es dann wir sollen die Gleichung lösen. Kurzgesagt, beim Lösen muss am Ende folgendes dastehen:

\begin{array}{ccc}x&=&3\\[1ex]Variable &=& Zahl\end {array}

Bei quadratischen Gleichungen gibt es immer $0$-$2$ Lösungen.

Mal ein Beispiel:

$$x^2-2x-3=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{array}{ll} x_1=3\\x_2=-1\end{array} \end{matrix}\right.$$

Den linken Teil haben wir gegeben. Den rechten Teil nicht. Der ist gesucht. Im Folgenden schauen wir uns an, wie man von links nach rechts kommt.

1. Fall: $3\cdot x^2-12=0$

Quadratische Gleichungen dieser Form haben einen quadratischen Teil, $3\cdot x^2$ und eine konstanten Teil, die Zahl $-12$.

1) Gleichung nach $\mathbf{x^2}$ auflösen

Du kannst sie am schnellsten ohne pq-Formel lösen. Wir bringen zuerst den konstanten Teil, $-12$, auf die andere Seite:

\begin{array}{rcll} 3\cdot x^2-12&=&0 &{\color{Gray} |+12}\\[1ex] 3\cdot x^2&=&12\end{array}

Jetzt teilen wir auf beiden Seiten durch die Zahl, die vor dem $x^2$ steht, durch $3$:

\begin{array}{rcll} 3\cdot x^2&=&12& {\color{Gray} |:3}\\[1ex] x^2&=&4 \end{array}

2) Wurzel ziehen

Wir ziehen noch die Wurzel und bekommen zwei Lösungen raus:

\begin{array}{rcll} x^2&=&4&{\color{Gray}|\sqrt{\;}}\end{array}

3) Lösungen aufschreiben

\begin{array}{lrr} x_1&=&2\\[1ex] x_2&=&-2 \end{array}

Merkt euch, dass ihr, nach dem ihr die Wurzel gezogen habt, immer zwei Lösungen erhaltet. Eine ist positiv und eine ist negativ. Ausnahme: $\sqrt{0}=0$. Wollen wir die Wurzeln von einer negativen Zahl ziehen, geht das nicht. Eine negative Zahl unter einer Wurzel hat keine Lösung.  Die Gleichung $x^2=-1$ hätte somit keine Lösung, es gibt kein $x$ für das die Gleichung erfüllt ist.

Merke

1) Gleichung nach $x^2$ auflösen
2) Wurzel ziehen
3) Lösungen aufschreiben

Weitere Beispiele:

2. Fall: $4\cdot x^2+12\cdot x =0$

Quadratische Gleichungen dieser Form haben einen quadratischen Teil, $4 \cdot x^2$ und eine linearen Teil, $12 \cdot x$.

1) $\mathbf{x}$ ausklammern

Du kannst sie am schnellsten ohne pq-Formel lösen. Wir klammern erst einmal den gemeinsamen Faktor $x$ aus:

\begin{array}{rcll} x\cdot (4 \cdot x+12)&=&0&\end{array}

2) Gleichungen gleich Null setzen

Wenn wir zwei Zahlen miteinander multiplizieren und das Ergebnis $0$ sein soll, muss eine Zahl davon $0$ sein. Es ist egal was die andere Zahl ist, das Ergebnis ist dann immer $0$. Mal ein Beispiel: $0\cdot 3=0$. Im folgenden machen wir das gleiche mit Variablen:

\begin{array}{ccccc} \underbrace{x}&\cdot&\underbrace{(4 \cdot x+12)}&=&0 \\[1ex] = 0&&=0 \end{array}

Wir erhalten zwei Gleichungen und setzen diese gleich $0$. Wir wollen wissen welche Zahl wir für $x$ einsetzen müssen, dass auf beiden Seiten das Gleiche steht (die Gleichung erfüllt ist).

3) Gleichungen nach $\mathbf{x}$ auflösen

1. Gleichung

\begin{array}{rcll} x&=&0\end{array}

2. Gleichung

Diese zweite (lineare) Gleichung brauchen wir jetzt nur noch nach $x$ aufzulösen:

\begin{array}{rcll} 4 \cdot x+12&=&0&{\color{Gray}|-12}\\[1ex] 4 \cdot x &=&-12&{\color{Gray}|:4}\\[1ex] x &=&-3 \end{array}

4) Lösungen aufschreiben

\begin{array}{lrr} x_1&=&0\\[1ex] x_2&=&-3 \end{array}

Merke

1) $x$ ausklammern
2) Faktoren gleich Null setzen
3) Gleichungen nach $x$ auflösen
4) Lösungen aufschreiben

Weitere Beispiele:

3. Fall $2\cdot x^2-4\cdot x -6=0$

Wenn eine Quadratische Gleichungen so aussieht, kannst du sie so lösen:

pq-Formel

Wir lösen die Gleichung im folgenden mit der pq-Formel.

\begin{array}{rcll} 2\cdot x^2-4\cdot x-6&=&0 \end{array}

1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen

Zuerst müssen wir die Gleichung in die Normalform bringen. Das machen wir indem wir die Gleichung durch die Zahl, die vor dem $x^2$ steht, teilen. In unseren Fall ist es die Zahl $2$.

\begin{array}{rcll} 2x^2-4x-6&=&0 &{\color{Gray} |:2}\\[1ex] x^2-2x-3&=&0\\[1ex] \end{array}

2) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ aus der Normalform herauslesen

Aus der Normalform lesen wir jetzt einfach $p$ und $q$ ab. $p$ ist immer die Zahl die vor dem $x$ steht. $q$ ist die konstante Zahl in der Gleichung. Die Vorzeichen sind bei der pq-Formel besondern wichtig. Steht vor einer Zahl ein negatives Vorzeichen, müssen wir das Vorzeichen dann auch mitnehmen.

\begin{array}{crc}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x^2{\color{red}\underbrace{-\;2}_{p}}\cdot x\;{\color{abc}\underbrace{-\;3}_{q}}&=&0 \end{array}

\begin{array}{crcll} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}p={\color{red} -2};&q={\color{abc} -3}\\[1ex] \end{array}

3) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ in die pq-Formel einsetzen

Die pq-Formel lautet:

\begin{array}{crl} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}x_{1,2}= &-\dfrac{\color{red}p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}p}{2} \right )^{2}-\color{abc}q} \end{array}

Wir setzen die Zahlen für $p$ und $q$ in die pq-Formel ein:

\begin{array}{rll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x_{1,2}= &-\dfrac{\color{red}p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}p}{2} \right )^{2}-\color{abc}q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{red} -2}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}-2}{2} \right )^{2}-({\color{abc} -3})} \\[2ex] =&- (-1)\pm \sqrt{( -1)^{2}+3} \\[2ex] =&1\pm \sqrt{{1+3}}\\[2ex] =&1\pm \sqrt{4} \\[2ex] =&1\pm 2 \end{array}

4) Lösungen aufschreiben

\begin{array}{llr} x_1&=&1+2&=& 3\\[1ex] x_2&=&1-2&=& -1\\[1ex] \end{array}

Merke

1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
2) $p$ und $q$ aus der Normalform herauslesen
3) $p$ und $q$ in die pq-Formel einsetzen
4) Lösungen aufschreiben

Sonderfälle

Negative Zahl in der Wurzel

Wir lösen die Gleichung $x^2-2x+2=0$ und setzen dafür in die pq-Formel ein:

\begin{array}{rll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x_{1,2}= &-\dfrac{\color{red}p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}p}{2} \right )^{2}-\color{abc}q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{red} -2}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}-2}{2} \right )^{2}-{\color{abc} 2}} \\[2ex] =&- (-1)\pm \sqrt{( -1)^{2}-2} \\[2ex] =&1\pm \sqrt{{1-2}}\\[2ex] =&1\pm \sqrt{-1} \end{array}

In der Wurzel steht eine negative Zahl, $-1$. Bei negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen. In unserem Fall gibt es für die Gleichung $x^2-2x+2=0$ keine Lösung.

$0$ in der Wurzel

Wir lösen die Gleichung $x^2-2x+1=0$ und setzen dafür in die pq-Formel ein:

\begin{array}{rll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x_{1,2}= &-\dfrac{\color{red}p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}p}{2} \right )^{2}-\color{abc}q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{red} -2}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}-2}{2} \right )^{2}-{\color{abc} 1}} \\[2ex] =&- (-1)\pm \sqrt{( -1)^{2}-1} \\[2ex] =&1\pm \sqrt{{1-1}}\\[2ex] =&1\pm \sqrt{0}\\[2ex] =&1\pm 0\\[2ex] =&1 \end{array}

Die Wurzel von $0$ ist auch wieder $0$. Ob man dann $+$ oder $-$ $0$ rechnet ist ja das Gleiche. Deswegen erhalten wir wenn in der Wurzel $0$ herauskommt eine Lösung für die Gleichung.

Weitere Beispiele:

Mitternachtsformel

Wir lösen die Gleichung im folgenden mit der Mitternachtsformel:

\begin{array}{rcl} 3\cdot x^2-3\cdot x-6&=&0 \end{array}

1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen

Da unsere Gleichung schon in der allgemeinen Form dasteht, entfällt dieser Schritt.

2) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen

\begin{array}{rcl} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc} \underbrace{3}_{a}}\cdot x^2 \; {\color{Red} \underbrace{-\; 3}_{b}}\cdot x \; {\color{Orange} \underbrace{-\; 6}_{c}}&=&0 \end{array}

\begin{array}{crclll} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}a={\color{abc} 3};&b={\color{Red} -3};&c={\color{Orange} -6} \end{array}

Steht vor einer Zahl ein negatives Vorzeichen, müssen wir das Vorzeichen dann auch mitnehmen.

3) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen

Die Mitternachtsformel lautet:

\begin{array}{crl} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}x_{1,2}= &\dfrac{-\color{Red} b\color{Black} {}\pm \sqrt{\color{Red} b\color{Black} {}^2-4\cdot \color{abc} a \color{Black}\cdot \color{Orange} c \color{Black}}}{2 \cdot {\color{abc} a}} \end{array}

Wir setzen die Zahlen für $a$, $b$ und $c$ in die Mitternachtsformel-Formel ein:

\begin{array}{rl}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x_{1,2}= &\dfrac{-\color{Red} b\color{Black} {}\pm \sqrt{\color{Red} b\color{Black} {}^2-4\cdot \color{abc} a \color{Black}\cdot \color{Orange} c \color{Black}}}{2 \cdot {\color{abc} a}} \\[2ex] =&\dfrac{-(\color{Red} -3\color{Black} {})\pm \sqrt{(\color{Red} -3\color{Black} {})^2-4\cdot \color{abc} 3 \color{Black}\cdot (\color{Orange} -6 \color{Black})}}{2 \cdot {\color{abc} 3}} \\[2ex] =&\dfrac{+3 \pm \sqrt{9-4\cdot 3\cdot (-6)}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{3\pm \sqrt{9-12\cdot (-6)}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{3\pm \sqrt{9+72}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{3\pm \sqrt{81}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{3\pm 9}{6}  \end{array}

4) Lösungen aufschreiben

\begin{array}{lrclrlr} x_1&=&\dfrac{3+ 9}{6}&=& \dfrac{12}{6}&=&2\\[1ex] x_2&=&\dfrac{3- 9}{6}&=& \dfrac{-6}{6}&=&-1\end{array}

Merke

1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
2) $a$, $b$ und $c$ aus der allgemeinen Form herauslesen
3) $a$, $b$ und $c$ in die Mitternachtsformel einsetzen
4) Lösungen aufschreiben

Weitere Beispiele:

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