In diesem Kapitel schauen wir uns an was eine quadratische Gleichung ist und vor allem wie du die unterschiedlichen Formen am besten lösen kannst.
- Was sind quadratische Gleichungen?
- 1. Fall: $3x^2-12=0$
- 2. Fall: $4x^2+12x =0$
- 3. Fall: $2x^2-4x -6=0$
Was sind quadratische Gleichungen?
Was ist eine quadratische Gleichung?
- $2x^2+3x-7=0$
- $3x^2+-7=5x+3$
- $-5x^2=4x^2+5x-6$
Allgemein schreibt man das ganze dann immer so:
$$ax^2+bx+c=0$$
Das bleibt immer gleich, es werden nur unterschiedliche Zahlen für die Variablen $a$, $b$ und $c$ eingesetzt.
Das hier wäre dann keine quadratische Gleichung, da der quadratische Teil fehlt:
$5x-5=0$
Klar, weil in der Gleichung kein $x^2$ steht.
Was ist dieses Lösen?
Wir haben jetzt unsere quadratische Gleichung. In den meisten Fällen heißt es dann wir sollen die Gleichung lösen. Kurzgesagt, beim Lösen muss am Ende folgendes dastehen:
\begin{array}{ccc}x&=&3\\[1ex]Variable &=& Zahl\end {array}
Bei quadratischen Gleichungen gibt es immer $0$-$2$ Lösungen.
Mal ein Beispiel:
$$x^2-2x-3=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{array}{ll} x_1=3\\x_2=-1\end{array} \end{matrix}\right.$$
Den linken Teil haben wir gegeben. Den rechten Teil nicht. Der ist gesucht. Im Folgenden schauen wir uns an, wie man von links nach rechts kommt.
1. Fall: $3x^2-12=0$
Quadratische Gleichungen dieser Form haben einen quadratischen Teil, $3x^2$ und eine konstanten Teil, die Zahl $-12$.
1) Gleichung nach $\mathbf{x^2}$ auflösen
Du kannst sie am schnellsten ohne pq-Formel lösen. Wir bringen zuerst den konstanten Teil, $-12$, auf die andere Seite:
\begin{array}{rcll} 3x^2-12&=&0 &{\color{Gray} |+12}\\[1ex] 3x^2&=&12\end{array}
Jetzt teilen wir auf beiden Seiten durch die Zahl, die vor dem $x^2$ steht, durch $3$:
\begin{array}{rcll} 3x^2&=&12& {\color{Gray} |:3}\\[1ex] x^2&=&4 \end{array}
2) Wurzel ziehen
Wir ziehen noch die Wurzel und bekommen zwei Lösungen raus:
\begin{array}{rcll} x^2&=&4&{\color{Gray}|\sqrt{\;}}\end{array}
3) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{lrr} x_1&=&2\\[1ex] x_2&=&-2 \end{array}
Merkt euch, dass ihr, nach dem ihr die Wurzel gezogen habt, immer zwei Lösungen erhaltet. Eine ist positiv und eine ist negativ. Ausnahme: $\sqrt{0}=0$. Wollen wir die Wurzeln von einer negativen Zahl ziehen, geht das nicht. Eine negative Zahl unter einer Wurzel hat keine Lösung. Die Gleichung $x^2=-1$ hätte somit keine Lösung, es gibt kein $x$ für das die Gleichung erfüllt ist.
1) Gleichung nach $x^2$ auflösen
2) Wurzel ziehen
3) Lösungen aufschreiben
Weitere Beispiele:
\begin{array}{rcll} 3x^2-75&=&0 \end{array}
1) Gleichung nach $\mathbf{x^2}$ auflösen
\begin{array}{rcll} 3x^2-75&=&0 &{\color{Gray}|+75}\\[1ex] 3x^2&=&75& {\color{Gray} |:3}\\[1ex] x^2&=&25 \end{array}
2) Wurzel ziehen
\begin{array}{rcll} x^2&=&25&{\color{Gray}|\sqrt{\;}}\end{array}
3) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{lrr} x_1&=&5\\[1ex] x_2&=&-5 \end{array}
\begin{array}{rcll} 7x^2-49&=&0 \end{array}
1) Gleichung nach $\mathbf{x^2}$ auflösen
\begin{array}{rcll} 7x^2-49&=&0 &{\color{Gray}|+49}\\[1ex] 7x^2&=&49& {\color{Gray} |:7}\\[1ex] x^2&=&7 \end{array}
2) Wurzel ziehen
\begin{array}{rcll} x^2&=&7&{\color{Gray}|\sqrt{\;}}\end{array}
3) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{rcrlr} x_1&=&\sqrt{7}&\approx &2,65\\[1ex] x_2&=&-\sqrt{7} &\approx &-2,65\end{array}
\begin{array}{rcll} 2x^2&=&\dfrac{1}{3} \end{array}
1) Gleichung nach $\mathbf{x^2}$ auflösen
\begin{array}{rcll} 2x^2&=&\dfrac{1}{3}& {\color{Gray} |:2}\\[1ex] x^2&=&\dfrac{1}{6} \end{array}
2) Wurzel ziehen
\begin{array}{rcll} x^2&=&\dfrac{1}{6}&{\color{Gray}|\sqrt{\;}}\end{array}
3) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{rcrlr} x_1&=&\sqrt{\dfrac{1}{6} }&\approx &0,41\\[1ex] x_2&=&-\sqrt{ \dfrac{1}{6} } &\approx &-0,41\end{array}
\begin{array}{rcll} 4x^2-8&=&0\end{array}
1) Gleichung nach $\mathbf{x^2}$ auflösen
\begin{array}{rcll} 4x^2-8&=&0 &{\color{Gray}|+8}\\[1ex] 4x^2&=&8& {\color{Gray} |:4}\\[1ex] x^2&=&2 \end{array}
2) Wurzel ziehen
\begin{array}{rcll} x^2&=&2&{\color{Gray}|\sqrt{\;}}\end{array}
3) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{rcrlr} x_1&=&\sqrt{2 }&\approx &1,42\\[1ex] x_2&=&-\sqrt{ 2 } &\approx &-1,42\end{array}
\begin{array}{rcll} 6x^2&=&7+2x^2 \end{array}
1) Gleichung nach $\mathbf{x^2}$ auflösen
\begin{array}{rcll} 6x^2&=&7+2x^2 &{\color{Gray} |-2x^2}\\[1ex] 4x^2&=&7& {\color{Gray} |:4}\\[1ex] x^2&=&\dfrac{7}{4} \end{array}
2) Wurzel ziehen
\begin{array}{rcll} x^2&=&\dfrac{7}{4}&{\color{Gray}|\sqrt{\;}}\end{array}
3) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{rcrlr} x_1&=&\sqrt{ \dfrac{7}{4}}&\approx &1,32\\[1ex] x_2&=&-\sqrt{ \dfrac{7}{4} } &\approx &-1,32\end{array}
\begin{array}{rcll} 20x^2+8&=&16+16x^2 \end{array}
1) Gleichung nach $\mathbf{x^2}$ auflösen
\begin{array}{rcll} 20x^2+8&=&15+16x^2& {\color{Gray} |-16x^2}\\[1ex] 4x^2+8&=&15 & {\color{Gray} |-8} \\[1ex] 4x^2&=&7 &|{\color{Gray} :4}\\[1ex] x^2&=&\dfrac{7}{4} \end{array}
2) Wurzel ziehen
\begin{array}{rcll} x^2&=&\dfrac{7}{4}&{\color{Gray}|\sqrt{\;}}\end{array}
3) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{rcrlr} x_1&=&\sqrt{\dfrac{7}{4} }&\approx &1,32\\[1ex] x_2&=&-\sqrt{ \dfrac{7}{4} } &\approx &-1,32\end{array}
2. Fall: $4x^2+12x =0$
Quadratische Gleichungen dieser Form haben einen quadratischen Teil, $4x^2$ und eine linearen Teil, $12x$.
1) Alles auf eine Seite bringen
Schritt entfällt. Alles ist schon auf einer Seite!
2) $\mathbf{x}$ ausklammern
Du kannst sie am schnellsten ohne pq-Formel lösen. Wir klammern erst einmal den gemeinsamen Faktor $x$ aus:
\begin{array}{rcll} x\cdot (4x+12)&=&0&\end{array}
3) Gleichungen gleich Null setzen
Wenn wir zwei Zahlen miteinander multiplizieren und das Ergebnis $0$ sein soll, muss eine Zahl davon $0$ sein. Es ist egal was die andere Zahl ist, das Ergebnis ist dann immer $0$. Mal ein Beispiel: $0\cdot 3=0$. Im folgenden machen wir das gleiche mit Variablen:
\begin{array}{ccccc} \underbrace{x}&\cdot&\underbrace{(4 x+12)}&=&0 \\[1ex] = 0&&=0 \end{array}
Wir erhalten zwei Gleichungen und setzen diese gleich $0$. Wir wollen wissen welche Zahl wir für $x$ einsetzen müssen, dass auf beiden Seiten das Gleiche steht (die Gleichung erfüllt ist).
4) Gleichungen nach $\mathbf{x}$ auflösen
1. Gleichung
\begin{array}{rcll} x&=&0\end{array}
2. Gleichung
Diese zweite (lineare) Gleichung brauchen wir jetzt nur noch nach $x$ aufzulösen:
\begin{array}{rcll} 4x+12&=&0&{\color{Gray}|-12}\\[1ex] 4x &=&-12&{\color{Gray}|:4}\\[1ex] x &=&-3 \end{array}
5) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{lrr} x_1&=&0\\[1ex] x_2&=&-3 \end{array}
Einsetzen:
$x_1$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} 4\cdot {\color{abc}0}^2+12\cdot {\color{abc}0}&=&0\\0&=&0\end{array}
$x_2$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} 4\cdot ({\color{abc}-3})^2+12\cdot ({\color{abc}-3})&=&0\\4\cdot 9-36&=&0\\36-36&=&0\\0&=&0\end{array}
Bei beiden Lösungen ist die Gleichung wahr.
1) Alles auf eine Seite bringen
2) $x$ ausklammern
3) Faktoren gleich Null setzen
4) Gleichungen nach $x$ auflösen
5) Lösungen aufschreiben
Weitere Beispiele:
\begin{array}{rcll} x^2+7x&=&0 \end{array}
1) Alles auf eine Seite bringen
Schritt entfällt. Alles ist schon auf einer Seite!
2) $\mathbf{x}$ ausklammern
\begin{array}{rcll} x\cdot ( x+7)&=&0&\end{array}
3) Gleichungen gleich Null setzen
\begin{array}{ccccc} \underbrace{x}&\cdot&\underbrace{( x+7)}&=&0 \\[1ex] = 0&&=0 \end{array}
4) Gleichungen nach $\mathbf{x}$ auflösen
1. Gleichung
\begin{array}{rcll} x&=&0\end{array}
2. Gleichung
\begin{array}{rcll} x+7&=&0&{\color{Gray}|-7}\\[1ex] x&=&-7\end{array}
5) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{lrr} x_1&=&0\\[1ex] x_2&=&-7 \end{array}
Einsetzen:
$x_1$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}0}^2+7\cdot {\color{abc}0}&=&0\\0&=&0\end{array}
$x_2$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} ({\color{abc}-7})^2+7\cdot ({\color{abc}-7})&=&0\\49-49&=&0\\0&=&0\end{array}
\begin{array}{rcll} -3x^2+6x&=&0 \end{array}
1) Alles auf eine Seite bringen
Schritt entfällt. Alles ist schon auf einer Seite!
2) $\mathbf{x}$ ausklammern
\begin{array}{rcll} x\cdot (-3 x+6)&=&0&\end{array}
3) Gleichungen gleich Null setzen
\begin{array}{ccccc} \underbrace{x}&\cdot&\underbrace{(-3 x+6)}&=&0 \\[1ex] = 0&&=0 \end{array}
4) Gleichungen nach $\mathbf{x}$ auflösen
1. Gleichung
\begin{array}{rcll} x&=&0\end{array}
2. Gleichung
\begin{array}{rcll} -3 x+6&=&0&{\color{Gray}|+3x}\\[1ex] 6&=&3x&{\color{Gray}|:3}\\[1ex] 2 &=&x \\[1ex] x&=&2\end{array}
5) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{rcr} x_1&=&0\\[1ex] x_2&=&2 \end{array}
Einsetzen:
$x_1$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} -3{\color{abc}0}^2+6\cdot {\color{abc}0}&=&0\\0&=&0\end{array}
$x_2$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} -3{\color{abc}2}^2+6\cdot {\color{abc}2}&=&0\\-12+12&=&0\\0&=&0\end{array}
\begin{array}{rcll} x^2&=&-\dfrac{1}{3}x \end{array}
1) Alles auf eine Seite bringen
\begin{array}{rcll} x^2&=&-\dfrac{1}{3}x &{\color{grey}|+\dfrac{1}{3}x}\\x^2+\dfrac{1}{3}x&=&0\end{array}
2) $\mathbf{x}$ ausklammern
\begin{array}{rcll} x\cdot (x+\dfrac{1}{3})&=&0&\end{array}
3) Gleichungen gleich Null setzen
\begin{array}{ccccc} \underbrace{x}&\cdot&\underbrace{(x+\dfrac{1}{3})}&=&0 \\[1ex] = 0&&=0 \end{array}
4) Gleichungen nach $\mathbf{x}$ auflösen
1. Gleichung
\begin{array}{rcll} x&=&0\end{array}
2. Gleichung
\begin{array}{rcll} x+\dfrac{1}{3}&=&0&{\color{Gray}|-\dfrac{1}{3}}\\[1ex] x&=&-\dfrac{1}{3} \end{array}
5) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{rcr} x_1&=&0\\[1ex] x_2&=&-\dfrac{1}{3} \end{array}
Einsetzen:
$x_1$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}0}^2&=&-\dfrac{1}{3} {\color{abc}0}\\0&=&0\end{array}
$x_2$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} {\color{abc}-\dfrac{1}{3}}^2&=&-\dfrac{1}{3} {\color{abc}-\dfrac{1}{3}}\\\dfrac{1}{9}&=&\dfrac{1}{9}\end{array}
\begin{array}{rcll} -5x&=&2x^2 \end{array}
1) Alles auf eine Seite bringen
\begin{array}{rcll} -5x&=&2x^2&{\color{grey}|-2x^2} \\-2x^2-5x&=&0\end{array}
2) $\mathbf{x}$ ausklammern
\begin{array}{rcll} x\cdot (-2x-5)&=&0&\end{array}
3) Gleichungen gleich Null setzen
\begin{array}{ccccc} \underbrace{x}&\cdot&\underbrace{(-2x-5)}&=&0 \\[1ex] = 0&&=0 \end{array}
4) Gleichungen nach $\mathbf{x}$ auflösen
1. Gleichung
\begin{array}{rcll} x&=&0\end{array}
2. Gleichung
\begin{array}{rcll} -2x-5&=&0&{\color{grey}|+2x}\\ -5&=&2x&{\color{grey}|:2}\\ -2,5 &=&x \\ x&=&-2,5\end{array}
5) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{rcr} x_1&=&0\\[1ex] x_2&=&-2,5 \end{array}
Einsetzen:
$x_1$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} -5\cdot {\color{abc}0}&=&2\cdot ({\color{abc}0})^2\\0&=&0\end{array}
$x_2$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} -5\cdot ({\color{abc}-2,5})&=&2\cdot ({\color{abc}-2,5})^2\\12,5&=&2\cdot 6,25\\12,5&=&12,5\end{array}
\begin{array}{rcll} -\dfrac{1}{8}x^2-a x&=&0\end{array}
1) Alles auf eine Seite bringen
Schritt entfällt. Alles ist schon auf einer Seite!
2) $\mathbf{x}$ ausklammern
\begin{array}{rcll} x\cdot (-\dfrac{1}{8} x-a)&=&0&\end{array}
3) Gleichungen gleich Null setzen
\begin{array}{ccccc} \underbrace{x}&\cdot&\underbrace{(-\dfrac{1}{8} x-a)}&=&0 \\[1ex] = 0&&=0 \end{array}
4) Gleichungen nach $\mathbf{x}$ auflösen
1. Gleichung
\begin{array}{rcll} x&=&0\end{array}
2. Gleichung
\begin{array}{rcll} -\dfrac{1}{8}x-a&=&0&{\color{Gray}|+a}\\[1ex] -\dfrac{1}{8}x&=&a&{\color{Gray}|\cdot 8}\\[1ex] -x &=&8a&{\color{Gray}| \cdot (-1)}\\[1ex] x&=&-8a\end{array}
5) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{rcr} x_1&=&0\\[1ex] x_2&=&-8a \end{array}
Einsetzen:
$x_1$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} -\dfrac{1}{8}\cdot ({\color{abc}0})^2-a\cdot {\color{abc}0}&=&0 \\0&=&0\end{array}
$x_2$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} -\dfrac{1}{8}\cdot ({\color{abc}-8a})^2-a\cdot ({\color{abc}-8a})&=&0 \\-\dfrac{1}{8}\cdot 64a^2+8a^2&=&0\\-8a^2+8a^2&=&0\\0&=&0\end{array}
\begin{array}{rcll} ax^2&=&bx \end{array}
1) Alles auf eine Seite bringen
\begin{array}{rcll} ax^2&=&bx&{\color{grey}|-bx}\\ax^2-bx&=&0 \end{array}
2) $\mathbf{x}$ ausklammern
\begin{array}{rcll} x\cdot (ax-b)&=&0&\end{array}
3) Gleichungen gleich Null setzen
\begin{array}{ccccc} \underbrace{x}&\cdot&\underbrace{(ax-b)}&=&0 \\[1ex] = 0&&=0 \end{array}
4) Gleichungen nach $\mathbf{x}$ auflösen
1. Gleichung
\begin{array}{rcll} x&=&0\end{array}
2. Gleichung
\begin{array}{rcll} ax-b&=&0&{\color{Gray}|+b}\\ ax&=&b&{\color{Gray}|:a}\\ x &=&\dfrac{b}{a} \end{array}
5) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{rcr} x_1&=&0\\[1ex] x_2&=&\dfrac{b}{a} \end{array}
Einsetzen:
$x_1$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} a\cdot ({\color{abc}0})^2&=&b\cdot {\color{abc}0} \\0&=&0\end{array}
$x_2$:
\begin{array}{rcll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} a\cdot ({\color{abc}\dfrac{b}{a}})^2&=&b\cdot {\color{abc}\dfrac{b}{a}} \\a\cdot \dfrac{b^2}{a^2}&=&\dfrac{b^2}{a}\\\dfrac{b^2}{a}&=&\dfrac{b^2}{a}\end{array}
3. Fall $2x^2-4x -6=0$
Wenn eine Quadratische Gleichungen so aussieht, kannst du sie so lösen:
pq-Formel
Wir lösen die Gleichung im folgenden mit der pq-Formel.
\begin{array}{rcll} 2x^2-4x-6&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Zuerst müssen wir die Gleichung in die Normalform bringen. Das machen wir indem wir die Gleichung durch die Zahl, die vor dem $x^2$ steht, teilen. In unseren Fall ist es die Zahl $2$.
\begin{array}{rcll} 2x^2-4x-6&=&0 &{\color{Gray} |:2}\\[1ex] x^2-2x-3&=&0\\[1ex] \end{array}
2) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ aus der Normalform herauslesen
Aus der Normalform lesen wir jetzt einfach $p$ und $q$ ab. $p$ ist immer die Zahl die vor dem $x$ steht. $q$ ist die konstante Zahl in der Gleichung. Die Vorzeichen sind bei der pq-Formel besondern wichtig. Steht vor einer Zahl ein negatives Vorzeichen, müssen wir das Vorzeichen dann auch mitnehmen.
\begin{array}{crc}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x^2{\color{red}\underbrace{-\;2}_{p}}\cdot x\;{\color{abc}\underbrace{-\;3}_{q}}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crcll} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}p={\color{red} -2};&q={\color{abc} -3}\\[1ex] \end{array}
3) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ in die pq-Formel einsetzen
Die pq-Formel lautet:
\begin{array}{crl} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}x_{1,2}= &-\dfrac{\color{red}p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}p}{2} \right )^{2}-\color{abc}q} \end{array}
Wir setzen die Zahlen für $p$ und $q$ in die pq-Formel ein:
\begin{array}{rll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x_{1,2}= &-\dfrac{\color{red}p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}p}{2} \right )^{2}-\color{abc}q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{red} -2}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}-2}{2} \right )^{2}-({\color{abc} -3})} \\[2ex] =&- (-1)\pm \sqrt{( -1)^{2}+3} \\[2ex] =&1\pm \sqrt{{1+3}}\\[2ex] =&1\pm \sqrt{4} \\[2ex] =&1\pm 2 \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{llr} x_1&=&1+2&=& 3\\[1ex] x_2&=&1-2&=& -1\end{array}
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
2) $p$ und $q$ aus der Normalform herauslesen
3) $p$ und $q$ in die pq-Formel einsetzen
4) Lösungen aufschreiben
Sonderfälle
Negative Zahl in der Wurzel
Wir lösen die Gleichung $x^2-2x+2=0$ und setzen dafür in die pq-Formel ein:
\begin{array}{rll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x_{1,2}= &-\dfrac{\color{red}p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}p}{2} \right )^{2}-\color{abc}q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{red} -2}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}-2}{2} \right )^{2}-{\color{abc} 2}} \\[2ex] =&- (-1)\pm \sqrt{( -1)^{2}-2} \\[2ex] =&1\pm \sqrt{{1-2}}\\[2ex] =&1\pm \sqrt{-1} \end{array}
In der Wurzel steht eine negative Zahl, $-1$. Bei negativen Zahlen kann man keine Wurzel ziehen. In unserem Fall gibt es für die Gleichung $x^2-2x+2=0$ keine Lösung.
$0$ in der Wurzel
Wir lösen die Gleichung $x^2-2x+1=0$ und setzen dafür in die pq-Formel ein:
\begin{array}{rll}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x_{1,2}= &-\dfrac{\color{red}p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}p}{2} \right )^{2}-\color{abc}q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{red} -2}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{red}-2}{2} \right )^{2}-{\color{abc} 1}} \\[2ex] =&- (-1)\pm \sqrt{( -1)^{2}-1} \\[2ex] =&1\pm \sqrt{{1-1}}\\[2ex] =&1\pm \sqrt{0}\\[2ex] =&1\pm 0\\[2ex] =&1 \end{array}
Die Wurzel von $0$ ist auch wieder $0$. Ob man dann $+$ oder $-$ $0$ rechnet ist ja das Gleiche. Deswegen erhalten wir wenn in der Wurzel $0$ herauskommt eine Lösung für die Gleichung.
Weitere Beispiele:
\begin{array}{rcll} 3\cdot x^2+15\cdot x+12&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
\begin{array}{rcll} 3\cdot x^2+15\cdot x+12&=&0 &{\color{Gray} |:3}\\[1ex] x^2+5\cdot x+4&=&0\\[1ex] \end{array}
2) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ aus der Normalform herauslesen
\begin{array}{crc} x^2{\color{Green}\;+5}\cdot x{\color{Red}\;+4}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crcll} p={\color{Green} +5};&q={\color{Red} +4} \end{array}
3) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ in die pq-Formel einsetzen
\begin{array}{rll} x_{1,2}= &-\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{p}{2} \right )^{2}-q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{Green} +5}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{Green}+5}{2} \right )^{2}-({\color{Red} +4})} \\[2ex] =&- (2,5)\pm \sqrt{( 2,5)^{2}-4} \\[2ex] =&-2,5 \pm \sqrt{{6,25-4}}\\[2ex] =&-2,5 \pm \sqrt{{2,25}}\\[2ex] =&-2,5 \pm 1,5 \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{lrclr} x_1&=&-2,5+1,5&=& -1\\[1ex] x_2&=&-2,5-1,5&=&-4 \end{array}
\begin{array}{rcll} x^2+4\cdot x-5&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Schritt entfällt, da wir schon die Normalform haben.
2) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ aus der Normalform herauslesen
\begin{array}{crc} x^2{\color{Green}\;+4}\cdot x{\color{Red}\;-5}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crcll} p={\color{Green} +4};&q={\color{Red} -5} \end{array}
3) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ in die pq-Formel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &-\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{p}{2} \right )^{2}-q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{Green} +4}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{Green}+4}{2} \right )^{2}-({\color{Red} -5})} \\[2ex] =&- 2\pm \sqrt{( 2)^{2}+5} \\[2ex] =&-2 \pm \sqrt{{4+5}}\\[2ex] =&-2 \pm \sqrt{{9}}\\[2ex] =&-2 \pm 3 \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{crclr} x_1&=&-2+3&= &1\\[1ex] x_2&=&-2-3&=&-5\end{array}
\begin{array}{rcll} 2\cdot x^2+6\cdot x-10&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
\begin{array}{rrcl} 2\cdot x^2+6\cdot x-10&=&0&{\color{Gray} |:2} \\[1ex] x^2+3\cdot x-5&=&0 \end{array}
2) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ aus der Normalform herauslesen
\begin{array}{crc}x^2{\color{Green}\;+3}\cdot x{\color{Red}\;-5}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crcll} p={\color{Green} +3};&q={\color{Red} -5} \end{array}
3) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ in die pq-Formel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &-\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{p}{2} \right )^{2}-q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{Green} +3}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{Green}+3}{2} \right )^{2}-({\color{Red} -5})} \\[2ex] =&- 1,5\pm \sqrt{( 1,5)^{2}+5} \\[2ex] =&-1,5 \pm \sqrt{{2,25+5}}\\[2ex] =&-1,5 \pm \sqrt{{7,25}} \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{crclr} x_1&=&-1,5+\sqrt{7,25}&\approx &1,19\\[1ex] x_2&=&-1,5-\sqrt{7,25}&\approx &-4,19 \end{array}
\begin{array}{rcll} 3\cdot x^2+2\cdot x-6&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
\begin{array}{rcll}3\cdot x^2+2\cdot x-6&=&0 &{\color{Gray} |:3}\\[1ex] x^2+\dfrac{2}{3}\cdot x-2&=&0 \end{array}
2) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ aus der Normalform herauslesen
\begin{array}{crc} x^2{\color{Green}\;+\dfrac{2}{3}}\cdot x{\color{Red}\;-2}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crcll} p={\color{Green} +\dfrac{2}{3}};&q={\color{Red} -2}\\[1ex] \end{array}
3) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ in die pq-Formel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &-\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{p}{2} \right )^{2}-q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{Green} +\dfrac{2}{3}}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{Green}+\dfrac{2}{3}}{2} \right )^{2}-({\color{Red} -2})} \\[2ex] =&- \dfrac{1}{3}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{1}{3} \right) ^{2}+2} \\[2ex] =&- \dfrac{1}{3}\pm \sqrt{ \dfrac{1}{9}+2} \\[2ex] =&- \dfrac{1}{3}\pm \sqrt{ \dfrac{1}{9}+\dfrac{2\cdot 9}{9}} \\[2ex] =&- \dfrac{1}{3}\pm \sqrt{ \dfrac{1}{9}+\dfrac{18}{9}} \\[2ex] =&- \dfrac{1}{3}\pm \sqrt{ \dfrac{19}{9}} \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{crclr} x_1&=&-\dfrac{1}{3}+\sqrt{\dfrac{19}{9}}&\approx &1,12\\[1ex] x_2&=&-\dfrac{1}{3}-\sqrt{\dfrac{19}{9}}&\approx&-1,79 \end{array}
\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{2}\cdot x^2+\dfrac{2}{3}\cdot x-3&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{2}\cdot x^2+\dfrac{2}{3}\cdot x-3&=&0 &{\color{Gray} |\cdot 2}\\[1ex] x^2+\dfrac{4}{3}\cdot x-6&=&0\\[1ex] \end{array}
2) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ aus der Normalform herauslesen
\begin{array}{crc} x^2{\color{Green}\;+\dfrac{4}{3}}\cdot x{\color{Red}\;-6}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crcll} p={\color{Green} +\dfrac{4}{3}};&q={\color{Red} -6}\\[1ex] \end{array}
3) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ in die pq-Formel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &-\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{p}{2} \right )^{2}-q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{Green} +\dfrac{4}{3}}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{Green}+\dfrac{4}{3}}{2} \right )^{2}-({\color{Red} -6})} \\[2ex] =&- \dfrac{2}{3}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{2}{3} \right) ^{2}+6} \\[2ex] =&- \dfrac{2}{3}\pm \sqrt{ \dfrac{4}{9}+6} \\[2ex] =&- \dfrac{2}{3}\pm \sqrt{ \dfrac{4}{9}+\dfrac{6\cdot 9}{9}} \\[2ex] =&- \dfrac{2}{3}\pm \sqrt{ \dfrac{4}{9}+\dfrac{54}{9}} \\[2ex] =&- \dfrac{2}{3}\pm \sqrt{ \dfrac{58}{9}} \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{crclr} x_1&=&-\dfrac{2}{3}+\sqrt{\dfrac{58}{9}}&\approx &1,87\\[1ex] x_2&=&-\dfrac{2}{3}-\sqrt{\dfrac{58}{9}}&\approx&-3,21 \end{array}
\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{3}\cdot x^2+\dfrac{1}{6}\cdot x-\dfrac{1}{3}\cdot a&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{3}\cdot x^2+\dfrac{1}{6}\cdot x-\dfrac{1}{3}\cdot a&=&0 &{\color{Gray} |\cdot 3}\\[1ex] x^2+\dfrac{1}{2}\cdot x-a&=&0 \end{array}
2) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ aus der Normalform herauslesen
\begin{array}{crc} x^2{\color{Green}\;+\dfrac{1}{2}}\cdot x{\color{Red}\;-a}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crcll} p={\color{Green} +\dfrac{1}{2}};&q={\color{Red} -a} \end{array}
3) $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ in die pq-Formel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &-\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{p}{2} \right )^{2}-q} \\[2ex] =&-\dfrac{{\color{Green} +\dfrac{1}{2}}}{2}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{\color{Green}+\dfrac{1}{2}}{2} \right )^{2}-({\color{Red} -a})} \\[2ex] =&- \dfrac{1}{4}\pm \sqrt{\left ( \dfrac{1}{4} \right) ^{2}+a} \\[2ex] =&- \dfrac{1}{4}\pm \sqrt{ \dfrac{1}{16}+a}\end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{crclr} x_1&=&- \dfrac{1}{4}+ \sqrt{ \dfrac{1}{16}+a}\\[1ex] x_2&=&- \dfrac{1}{4}- \sqrt{ \dfrac{1}{16}+a} \end{array}
Mitternachtsformel
Wir lösen die Gleichung im folgenden mit der Mitternachtsformel:
\begin{array}{rcl} 3\cdot x^2-3\cdot x-6&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
Da unsere Gleichung schon in der allgemeinen Form dasteht, entfällt dieser Schritt.
2) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
\begin{array}{rcl} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}{\color{abc} \underbrace{3}_{a}}\cdot x^2 \; {\color{Red} \underbrace{-\; 3}_{b}}\cdot x \; {\color{Orange} \underbrace{-\; 6}_{c}}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crclll} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}a={\color{abc} 3};&b={\color{Red} -3};&c={\color{Orange} -6} \end{array}
Steht vor einer Zahl ein negatives Vorzeichen, müssen wir das Vorzeichen dann auch mitnehmen.
3) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
Die Mitternachtsformel lautet:
\begin{array}{crl} \definecolor{abc}{RGB}{0,212,184}x_{1,2}= &\dfrac{-\color{Red} b\color{Black} {}\pm \sqrt{\color{Red} b\color{Black} {}^2-4\cdot \color{abc} a \color{Black}\cdot \color{Orange} c \color{Black}}}{2 \cdot {\color{abc} a}} \end{array}
Wir setzen die Zahlen für $a$, $b$ und $c$ in die Mitternachtsformel-Formel ein:
\begin{array}{rl}\definecolor{abc}{RGB}{0,212,184} x_{1,2}= &\dfrac{-\color{Red} b\color{Black} {}\pm \sqrt{\color{Red} b\color{Black} {}^2-4\cdot \color{abc} a \color{Black}\cdot \color{Orange} c \color{Black}}}{2 \cdot {\color{abc} a}} \\[2ex] =&\dfrac{-(\color{Red} -3\color{Black} {})\pm \sqrt{(\color{Red} -3\color{Black} {})^2-4\cdot \color{abc} 3 \color{Black}\cdot (\color{Orange} -6 \color{Black})}}{2 \cdot {\color{abc} 3}} \\[2ex] =&\dfrac{+3 \pm \sqrt{9-4\cdot 3\cdot (-6)}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{3\pm \sqrt{9-12\cdot (-6)}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{3\pm \sqrt{9+72}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{3\pm \sqrt{81}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{3\pm 9}{6} \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{lrclrlr} x_1&=&\dfrac{3+ 9}{6}&=& \dfrac{12}{6}&=&2\\[1ex] x_2&=&\dfrac{3- 9}{6}&=& \dfrac{-6}{6}&=&-1\end{array}
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
2) $a$, $b$ und $c$ aus der allgemeinen Form herauslesen
3) $a$, $b$ und $c$ in die Mitternachtsformel einsetzen
4) Lösungen aufschreiben
Weitere Beispiele:
\begin{array}{rcll} 3\cdot x^2+15\cdot x+12&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
\begin{array}{rcll} 3\cdot x^2+15\cdot x+12&=&0 \end{array}
2) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
\begin{array}{rcl} {\color{Green} 3}\cdot x^2{\color{Red} +15}\cdot x{\color{Orange} +12}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crclll} a={\color{Green} 3};&b={\color{Red} 15};&c={\color{Orange} 12} \end{array}
3) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2 \cdot a} \\[2ex] =&\dfrac{-\color{Red} 15\color{Black} {}\pm \sqrt{\color{Red} 15\color{Black} {}^2-4\cdot \color{Green} 3 \color{Black}\cdot \color{Orange} 12 \color{Black}}}{2 \cdot {\color{Green} 3}} \\[2ex] =&\dfrac{-15\pm \sqrt{225-12\cdot 12}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{-15\pm \sqrt{225-144}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{-15\pm \sqrt{81}}{6} \\[2ex] =&\dfrac{-15\pm 9}{6} \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{lrclrlr} x_1&=&\dfrac{-15+ 9}{6}&=& \dfrac{-6}{6}&=&-1\\[1ex] x_2&=&\dfrac{-15- 9}{6}&=& \dfrac{-24}{6}&=&-4 \end{array}
\begin{array}{rcll} 2\cdot x^2-4\cdot x-6&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
\begin{array}{rcll} 2\cdot x^2-4\cdot x-6&=&0 \end{array}
2) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
\begin{array}{rcl} {\color{Green} 2}\cdot x^2{\color{Red} -4}\cdot x{\color{Orange} -6}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crclll} a={\color{Green} 2};&b={\color{Red} -4};&c={\color{Orange} -6} \end{array}
3) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2 \cdot a} \\[2ex] =&\dfrac{-(\color{Red} -4\color{Black}) {}\pm \sqrt{(\color{Red} -4\color{Black}) {}^2-4\cdot \color{Green} 2 \color{Black}\cdot (\color{Orange} -6 \color{Black})}}{2 \cdot {\color{Green} 2}} \\[2ex] =&\dfrac{4\pm \sqrt{16-8\cdot (-6)}}{4} \\[2ex] =&\dfrac{4\pm \sqrt{16+48}}{4} \\[2ex] =&\dfrac{4\pm \sqrt{64}}{4} \\[2ex] =&\dfrac{4\pm 8}{4} \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{crclrlr} x_1&=&\dfrac{4+ 8}{4}&= &\dfrac{12}{4}&=&3\\[1ex] x_2&=&\dfrac{4- 8}{4}&= &\dfrac{-4}{4}&=&-1\\[1ex] \end{array}
\begin{array}{rcll} 2\cdot x^2+3\cdot x-4&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
\begin{array}{rcll} 2\cdot x^2+3\cdot x-4&=&0 \end{array}
2) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
\begin{array}{rcl} {\color{Green} 2}\cdot x^2{\color{Red} +3}\cdot x{\color{Orange} -4}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crclll} a={\color{Green} 2};&b={\color{Red} 3};&c={\color{Orange} -4}\end{array}
3) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2 \cdot a} \\[2ex] =&\dfrac{-\color{Red} 3\color{Black} {}\pm \sqrt{\color{Red} 3\color{Black} {}^2-4\cdot \color{Green} 2 \color{Black}\cdot (\color{Orange} -4 \color{Black}})}{2 \cdot {\color{Green} 2}} \\[2ex] =&\dfrac{-3\pm \sqrt{9-4\cdot (-8)}}{4} \\[2ex] =&\dfrac{-3\pm \sqrt{9+32}}{4} \\[2ex] =&\dfrac{-3\pm \sqrt{41}}{4} \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{crclr} x_1&=&\dfrac{-3+ \sqrt{41}}{4}&\approx &0,85\\[1ex] x_2&=&\dfrac{-3- \sqrt{41}}{4}&\approx &-2,35\end{array}
\begin{array}{rcll} 0,5\cdot x^2-3\cdot x+3&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
\begin{array}{rcll} 0,5\cdot x^2-3\cdot x+3&=&0 \end{array}
2) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
\begin{array}{rcl} {\color{Green} 0,5}\cdot x^2{\color{Red} -3}\cdot x{\color{Orange} +3}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crclll} a={\color{Green} 0,5};&b={\color{Red} -3};&c={\color{Orange} 3}\end{array}
3) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2 \cdot a} \\[2ex] =&\dfrac{-(\color{Red} -3\color{Black} ){}\pm \sqrt{(\color{Red} -3\color{Black} ){}^2-4\cdot \color{Green} 0,5 \color{Black}\cdot \color{Orange} 3 \color{Black}}}{2 \cdot {\color{Green} 0,5}} \\[2ex] =&\dfrac{3\pm \sqrt{9-2\cdot 3}}{1} \\[2ex] =&3\pm \sqrt{9-6} \\[2ex] =&3\pm \sqrt{3} \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{crclr} x_1&=&3+ \sqrt{3} &\approx &4,73\\[1ex] x_2&=&3- \sqrt{3} &\approx &1,27 \end{array}
\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{3}\cdot x^2+2\cdot x-\dfrac{5}{3}&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{3}\cdot x^2+2\cdot x-\dfrac{5}{3}&=&0 \end{array}
2) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
\begin{array}{rcl} {\color{Green} \dfrac{1}{3}}\cdot x^2{\color{Red} +2}\cdot x{\color{Orange} -\dfrac{5}{3}}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crclll} a={\color{Green} \dfrac{1}{3}};&b={\color{Red} 2};&c={\color{Orange} -\dfrac{5}{3}} \end{array}
3) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2 \cdot a} \\[2ex] =&\dfrac{-\color{Red} 2\color{Black} {}\pm \sqrt{\color{Red} 2\color{Black} {}^2-4\cdot \color{Green} \dfrac{1}{3} \color{Black}\cdot (\color{Orange} -\dfrac{5}{3}\color{Black}})}{2 \cdot {\color{Green} \dfrac{1}{3}}} \\[2ex] =&\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot (- \dfrac{5}{9})}}{\dfrac{2}{3}} \\[2ex] =&\dfrac{-2\pm \sqrt{4+\dfrac{20}{9}}}{\dfrac{2}{3}} \\[2ex] =&\dfrac{-2\pm \sqrt{\dfrac{56}{9}}}{\dfrac{2}{3}}\end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{crclrlr} x_1&=&\dfrac{-2+ \sqrt{\dfrac{56}{9}}}{\dfrac{2}{3}}\\[1ex] &= &-3+\sqrt{14}&\approx &0,74\\[3ex] x_2&=&\dfrac{-2- \sqrt{\dfrac{56}{9}}}{\dfrac{2}{3}}\\[1ex] &= &-3-\sqrt{14}&\approx &-6,74 \end{array}
\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{4}\cdot x^2+\dfrac{1}{3}\cdot x-\dfrac{1}{2}&=&0 \end{array}
1) Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{4}\cdot x^2+\dfrac{1}{3}\cdot x-\dfrac{1}{2}&=&0 \end{array}
2) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
\begin{array}{rcl} {\color{Green} \dfrac{1}{4}}\cdot x^2{\color{Red} +\dfrac{1}{3}}\cdot x{\color{Orange} -\dfrac{1}{2}}&=&0 \end{array}
\begin{array}{crclll} a={\color{Green} \dfrac{1}{4}};&b={\color{Red} \dfrac{1}{3}};&c={\color{Orange} -\dfrac{1}{2}}\\[1ex] \end{array}
3) $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
\begin{array}{rl} x_{1,2}= &\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2 \cdot a} \\[2ex] =&\dfrac{-\color{Red} \dfrac{1}{3}\color{Black} {}\pm \sqrt{(\color{Red} \dfrac{1}{3}\color{Black}) {}^2-4\cdot \color{Green} \dfrac{1}{4} \color{Black}\cdot (\color{Orange} -\dfrac{1}{2}\color{Black}})}{2 \cdot {\color{Green} \dfrac{1}{4}}} \\[2ex] =&\dfrac{-\dfrac{1}{3}\pm \sqrt{\dfrac{1}{9}-1\cdot (- \dfrac{1}{2})}}{\dfrac{1}{2}} \\[2ex] =&\dfrac{-\dfrac{1}{3}\pm \sqrt{\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}} \\[2ex] =&\dfrac{-\dfrac{1}{3}\pm \sqrt{\dfrac{11}{18}}}{\dfrac{1}{2}} \end{array}
4) Lösungen aufschreiben
\begin{array}{crclrlr} x_1&=&\dfrac{-\dfrac{1}{3}+ \sqrt{\dfrac{11}{18}}}{\dfrac{1}{2}} & \approx &0,9\\[1ex] x_2&=&\dfrac{-\dfrac{1}{3}- \sqrt{\dfrac{11}{18}}}{\dfrac{1}{2}} &\approx &-2,23 \end{array}
